1. Pe \( \mathbb{R} \) se definește legea de compoziție \( x * y = xy - 3x - 3y + 12 \).
| a) | Calculați \( 2 * 7 \). | |
| b) | Verificați dacă \( x * y = (x - 3)(y - 3) + 3 \), \( \forall x, y \in \mathbb{R} \). | |
| c) | Verificați dacă mulţimea \( G = (3, \infty ) \) este parte stabilă în raport cu legea de compoziție \( * \). | |
| d) | Verificați dacă legea de compoziție \( * \) este asociativă. | |
| e) | Verificați dacă legea de compoziție \( * \) este comutativă. | |
| f) | Studiați dacă legea de compoziție \( * \) admite element neutru pe \( \mathbb{R} \). | |
| g) | Studiați existența elementelor simetrizabile ale legii de compoziție \( * \) pe \( \mathbb{R} \). | |
| h) | Verificați dacă \( \underbrace {x * x * ... * x}_{de \quad n \quad ori} = ( x - 3 )^n + 3 \), \( \forall x \in \mathbb{R} \), \( \forall n \in \mathbb{N^*} \). | |
| i) | Rezolvați, în \( \mathbb{R} \), ecuația \( x * x = 4 \). | |
| j) | Rezolvați, în \( \mathbb{R} \), ecuația \( x * x * x = x \). | |
| k) | Determinați \( a, b \in \mathbb{Q \setminus Z} \) astfel încât \( a * b \in \mathbb{N} \). | |
| l) | Verificați dacă \( x * 3 = 3 * x = 3 \), \( \forall x \in \mathbb{R} \). | |
| m) | Calculați valoarea expresiei \( 1 * 2 * 3 * ... * 2017 \). |