Lungimea unui segment

Exerciții și probleme... lungimea unui segment.

Matematică >> lungimea unui segment >> 3


\( \definecolor{red}{RGB}{255,0,0} \definecolor{blue}{RGB}{0,0,255} \definecolor{black}{RGB}{0,0,0} \definecolor{grey}{RGB}{115,115,115} \definecolor{pink}{RGB}{249,76,177} \definecolor{violet}{RGB}{173,18,212} \)
teorie
Cunoscând coordonatele vârfurilor triunghiului \(ABC\),
punctele \( A(\color{red}x_A \color{grey}, \color{blue}y_A \color{grey}) \), \( B(\color{pink}x_B \color{grey}, \color{violet}y_B \color{grey}) \) și \( C(\color{pink}x_C \color{grey}, \color{violet}y_C \color{grey}) \),
să se determine lungimea medianei corespunzătoare vârfului \(A\).

Mediana este segmentul care unește vârful triunghiului cu mijlocul laturii opuse.
Se determină coordonatele punctului \( M(\color{red}x_M \color{grey}, \color{blue}y_M \color{grey}) \), mijlocul segmentului \(BC\).
Se calculează lungimea segmentului \(AM\).


exemple
Să se determine lungimea medianei corespunzătoare vârfului \(A\) al triunghiului \(ABC\),
cu \( A(\color{red}-3 \color{grey}, \color{blue}2 \color{grey}) \), \( B(\color{pink}5 \color{grey}, \color{violet}-1 \color{grey}) \) și \( C(\color{pink}3 \color{grey}, \color{violet}7 \color{grey}) \).

Rezolvare:
Folosind formulele coordonatelor mijlocului segmentului \(BC\),
se determină coordonatele punctului \( M(\color{red}x_M \color{grey}, \color{blue}y_M \color{grey}) \), mijlocul segmentului \(BC\):
\( \displaystyle x_M = \frac{\color{pink}x_B \color{grey}+ \color{pink}x_C }{2} \)    și    \( \displaystyle y_M = \frac{\color{violet}y_B \color{grey}+ \color{violet}y_C }{2} \),
se obține:

\( \displaystyle x_M = \frac{\color{pink}5 \color{grey}+ \color{pink}3 }{2} = \frac{8}{2} = \color{red} 4 \)
și
\( \displaystyle y_M = \frac{\color{violet}-1 \color{grey}+ \color{violet}7 }{2} = \frac{6}{2} = \color{blue} 3 \),

deci \( M(\color{red}4 \color{grey}, \color{blue} 3 \color{grey}) \).

Folosind formula lungimii segmentului \(AM\):
\( AM = \sqrt{ (\color{red} x_A \color{grey} - \color{red}x_M \color{grey})^2 + ( \color{blue}y_A \color{grey}- \color{blue}y_M \color{grey})^2 }\)

se obține:
\( AM = \sqrt{ (\color{red} -3 \color{grey} - \color{red}4 \color{grey})^2 + ( \color{blue}2 \color{grey}- \color{blue}3 \color{grey})^2 }\)
deci
\( AM = \sqrt{ (-7)^2 + ( -1)^2 }\)
\( AM = \sqrt{ 49 + 1 }\)
\( AM = \sqrt{ 50 }\)
\( AM = 5\sqrt{ 2 }\).


exerciții

Lungimea medianei \(BM\), corespunzătoare vârfului \(B\) al triunghiului \(ABC\),
cu \( B(\color{red}2 \color{grey}, \color{blue}7 \color{grey}) \), \( C(\color{pink} - 6 \color{grey}, \color{violet}2 \color{grey}) \) și \( A(\color{pink}6 \color{grey}, \color{violet}8 \color{grey}) \) este:

 \(BM=\) \(2\sqrt{5}\)

 \(BM=\) \(2\sqrt{35}\)

 \(BM=\) \(2\sqrt{7}\)

 \(BM=\) \(2\sqrt{2}\)

 \(BM=\) \(2\sqrt{37}\)


 


exercițiu nou


Folosind formulele coordonatelor mijlocului segmentului \(CA\),
se determină coordonatele punctului \( M(\color{red}x_M \color{grey}, \color{blue}y_M \color{grey}) \), mijlocul segmentului \(CA\),
cu \( C(\color{pink} - 6 \color{grey}, \color{violet}2 \color{grey}) \) și \( A(\color{pink}6 \color{grey}, \color{violet}8 \color{grey}) \):

\( \displaystyle x_M = \frac{\color{pink}x_C \color{grey}+ \color{pink}x_A }{2} \)    și    \( \displaystyle y_M = \frac{\color{violet}y_C \color{grey}+ \color{violet}y_A }{2} \),
se obține:

\( \displaystyle x_M = \frac{\color{pink} - 6 \color{grey}+ \color{pink}6 }{2} = \frac{ 0}{2} = \color{red} 0 \)
și
\( \displaystyle y_M = \frac{\color{violet} 2 \color{grey}+ \color{violet}8 }{2} = \frac{ 10}{2} = \color{blue} 5 \) ,

deci \( M(\color{red}0 \color{grey}, \color{blue} 5 \color{grey}) \).

Folosind formula lungimii segmentului \(BM\):
\( BM = \sqrt{ (\color{red} x_B \color{grey} - \color{red}x_M \color{grey})^2 + ( \color{blue}y_B \color{grey}- \color{blue}y_M \color{grey})^2 }\),
cu \( B(\color{red}2 \color{grey}, \color{blue}7 \color{grey}) \) și \( M(\color{red}0 \color{grey}, \color{blue} 5 \color{grey}) \),

se obține:
\( BM = \sqrt{ (\color{red} 2 \color{grey} - \color{red}0 \color{grey})^2 + ( \color{blue}7 \color{grey}- \color{blue}5 \color{grey})^2 }\)

deci
\( BM = \sqrt{ (2 - 0)^2 + (7 - 5)^2 }\)
\( BM = \sqrt{ 2^2 + 2^2 }\)
\( BM = \sqrt{ 4 + 4 }\)

\( BM = \sqrt{8}\)
\( BM = 2\sqrt{2}\).