Sesiunea specială - 7 iunie 2017

Subiect M_st-nat I 3.

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele \( A( 2, 5) \), \( B( 1, 3) \) și \( C( m, 1) \), unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$, știind că punctul $C$ aparține dreptei $AB$.
soluția
Metoda I
Punctele \( A( \color{red}2 \color{grey}, \color{blue}5) \), \( B( \color{orange}1 \color{grey}, \color{green}3) \) și \( C( \color{fuchsia}m \color{grey}, \color{darkmagenta}1) \) sunt coliniare dacă este verificată egalitatea:
   \( \displaystyle \frac {\color{fuchsia}x_C \color{grey} - \color{red}x_A}{\color{orange}x_B \color{grey} - \color{red}x_A} = \frac {\color{darkmagenta}y_C \color{grey} - \color{blue}y_A}{\color{green}y_B \color{grey} - \color{blue}y_A} \), adică:

   \( \displaystyle \frac {\color{fuchsia}m \color{grey} - \color{red}2}{\color{orange}1 \color{grey} - \color{red}2} = \frac {\color{darkmagenta}1 \color{grey} - \color{blue}5}{\color{green}3 \color{grey} - \color{blue}5} \).

Rezolvând această ecuație, se determină \( \color{fuchsia}m \):

   \( \displaystyle \frac {\color{fuchsia}m \color{grey} - 2}{1 - 2} = \frac {1 - 5}{3 - 5} \).

   \( \displaystyle \frac {\color{fuchsia}m \color{grey} - 2}{-1} = \frac {-4}{-2} \).

   \( \displaystyle -2 \cdot \left( \color{fuchsia}m \color{grey} - 2 \right ) = -4 \cdot \left(-1 \right) \)
   \( - 2 \color{fuchsia}m \color{grey} + 4 = 4 \)
   \( - 2 \color{fuchsia}m \color{grey} = 0 \)
   \( \color{fuchsia}m \color{grey} = 0 \),

deci punctele \( A( \color{red}2 \color{grey}, \color{blue}5) \), \( B( \color{orange}1 \color{grey}, \color{green}3) \) și \( C( \color{fuchsia}m \color{grey}, \color{darkmagenta}1) \) sunt coliniare pentru \( \color{fuchsia}m \color{grey} = 0 \).

Metoda a II-a
Punctele \( A( \color{red}2 \color{grey}, \color{blue}5) \), \( B( \color{orange}1 \color{grey}, \color{green}3) \) și \( C( \color{fuchsia}m \color{grey}, \color{darkmagenta}1) \) sunt coliniare dacă este verificată egalitatea:

\( \begin{vmatrix} \color{red}x_A & \color{blue}y_A & \color{grey}1\\ \color{orange}x_B & \color{green}y_B & \color{grey}1\\ \color{fuchsia}x_C & \color{darkmagenta}y_C & \color{grey}1 \end{vmatrix} = 0 \), adică:

\( \begin{vmatrix} \color{red}2 & \color{blue}5 & \color{grey}1\\ \color{orange}1 & \color{green}3 & \color{grey}1\\ \color{fuchsia}m & \color{darkmagenta}1 & \color{grey}1 \end{vmatrix} = 0 \).

Se calculează determinantul folosind regula lui Sarrus:
\( \color{red}2 \color{grey}\cdot \color{green}3 \color{grey}\cdot 1 + \color{orange}1 \color{grey}\cdot \color{darkmagenta}1 \color{grey}\cdot 1 + \color{fuchsia}m \color{grey}\cdot \color{blue}5 \color{grey}\cdot 1 - 1 \color{grey}\cdot \color{green}3 \color{grey}\cdot \color{fuchsia}m \color{grey} - 1 \color{grey}\cdot \color{darkmagenta}1 \color{grey}\cdot \color{red}2 \color{grey} - 1 \color{grey}\cdot \color{blue}5 \color{grey}\cdot \color{orange}1 \color{grey} =0 \)

Rezolvând această ecuație, se determină \( \color{blue}m \):

\( 6 + 1 + 5\color{fuchsia}m \color{grey} - 3\color{fuchsia}m \color{grey} - 2 - 5 = 0 \)
\( 5\color{fuchsia}m \color{grey} - 3\color{fuchsia}m \color{grey} = - 6 - 1 + 2 + 5 \)
\( 2\color{fuchsia}m \color{grey} = 0 \)
\( \color{fuchsia}m \color{grey} = 0 \),

deci punctele \( A( \color{red}2 \color{grey}, \color{blue}5) \), \( B( \color{orange}1 \color{grey}, \color{green}3) \) și \( C( \color{fuchsia}m \color{grey}, \color{darkmagenta}1) \) sunt coliniare pentru \( \color{fuchsia}m \color{grey} = 0 \).



exerciții

Punctele \( A( \color{red}m \color{grey}, \color{blue}-3) \), \( B( \color{orange}-4 \color{grey}, \color{green}-1) \) și \( C( \color{fuchsia}18 \color{grey}, \color{darkmagenta}-5) \) sunt coliniare pentru

\( m = \)


 


exercițiu nou

Punctele \( A( \color{red}m \color{grey}, \color{blue}-3) \), \( B( \color{orange}-4 \color{grey}, \color{green}-1) \) și \( C( \color{fuchsia}18 \color{grey}, \color{darkmagenta}-5) \) sunt coliniare pentru \( m = \dots \)

Metoda I
Punctele \( A( \color{red}m \color{grey}, \color{blue}-3) \), \( B( \color{orange}-4 \color{grey}, \color{green}-1) \) și \( C( \color{fuchsia}18 \color{grey}, \color{darkmagenta}-5) \) sunt coliniare dacă este verificată egalitatea:

   \( \displaystyle \frac {\color{fuchsia}x_C \color{grey} - \color{red}x_A}{\color{orange}x_B \color{grey} - \color{red}x_A} = \frac {\color{darkmagenta}y_C \color{grey} - \color{blue}y_A}{\color{green}y_B \color{grey} - \color{blue}y_A} \), adică

   \( \displaystyle \frac {\color{fuchsia}18 \color{grey} - \color{red}m}{\color{orange}-4 \color{grey} - \color{red}m} = \frac {\color{darkmagenta}-5 \color{grey} - \color{blue}(-3)}{\color{green}-1 \color{grey} - \color{blue}(-3)} \)

   \( \displaystyle \frac {18 - m}{-4 - m} = \frac {-5 + 3}{-1 + 3} \)

   \( \displaystyle \frac {18 - m}{-4 - m} = \frac {-2}{2} \)

   \( \displaystyle \frac {18 - m}{-4 - m} = \frac {-1}{1} \)

   \( \displaystyle 1 \cdot ( 18 - m) = -1 \cdot (-4 - m) \)

   \( \displaystyle 18 - m = 4 + m \)

   \( \displaystyle - m - m = 4 - 18 \)

   \( \displaystyle - 2m = -14 \)

   \( \displaystyle m = 7 \),

deci punctele \( A( \color{red}m \color{grey}, \color{blue}-3) \), \( B( \color{orange}-4 \color{grey}, \color{green}-1) \) și \( C( \color{fuchsia}18 \color{grey}, \color{darkmagenta}-5) \) sunt coliniare pentru \( \color{red}m \color{grey} = 7 \).

Metoda a II-a
Punctele \( A( \color{red}m \color{grey}, \color{blue}-3) \), \( B( \color{orange}-4 \color{grey}, \color{green}-1) \) și \( C( \color{fuchsia}18 \color{grey}, \color{darkmagenta}-5) \) sunt coliniare dacă este verificată egalitatea:

\( \begin{vmatrix} \color{red}x_A & \color{blue}y_A & \color{grey}1\\ \color{orange}x_B & \color{green}y_B & \color{grey}1\\ \color{fuchsia}x_C & \color{darkmagenta}y_C & \color{grey}1 \end{vmatrix} = 0 \), adică

\( \begin{vmatrix} \color{red}m & \color{blue}-3 & \color{grey}1\\ \color{orange}-4 & \color{green}-1 & \color{grey}1\\ \color{fuchsia}18 & \color{darkmagenta}-5 & \color{grey}1 \end{vmatrix} = 0 \).

Se calculează determinantul folosind regula lui Sarrus:

\( \color{red}m \color{grey}\cdot \color{green}(-1) \color{grey}\cdot 1 + \color{orange}(-4) \color{grey}\cdot \color{darkmagenta}(-5) \color{grey}\cdot 1 + \color{fuchsia}18 \color{grey}\cdot \color{blue}(-3) \color{grey}\cdot 1 - 1 \color{grey}\cdot \color{green}(-1) \color{grey}\cdot \color{fuchsia}18 \color{grey} - 1 \color{grey}\cdot \color{darkmagenta}(-5) \color{grey}\cdot \color{red}m \color{grey} - 1 \color{grey}\cdot \color{blue}(-3) \color{grey}\cdot \color{orange}(-4) \color{grey} =0 \)

\( - m + 20 - 54 + 18 + 5m - 12=0 \)

\( - m + 5m = -20 + 54 - 18 + 12 \)

\( 4m = 28 \),

\( m = 7 \),

deci punctele \( A( \color{red}m \color{grey}, \color{blue}-3) \), \( B( \color{orange}-4 \color{grey}, \color{green}-1) \) și \( C( \color{fuchsia}18 \color{grey}, \color{darkmagenta}-5) \) sunt coliniare pentru \( \color{red}m \color{grey} = 7 \).

***
La click se selectează și copiază textul în clipboard.
Textul se lipește într-un TeX front-end program (de exmplu TeXworks) care îl transformă în .pdf
***


Întregul fișier .tex



Doar problema în format .tex