Ecuații exponențiale

Exerciții și probleme... ecuații exponențiale.

Matematică >> Ecuații exponentiale >> 1 a.


teorie
Pentru a rezolva ecuația
    \( \displaystyle \color{red}a^{\color{dimgray}x} \color{dimgray} = \color{blue}b \),
trebuie ca \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \), altfel mulțimea de soluții este \( S = \emptyset \).

În cazul \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \) se logaritmează în baza \( \color{red}a \), astfel:
   \( \log_{ \color{red} a} \color{red} a^{ \color{dimgray} x} \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
   \( x \cdot \log_{ \color{red} a} \color{red} a \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
   \( x \cdot 1 = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
   \( x = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)

și se scrie mulțimea de soluții \( S = \{ \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \color{dimgray} \} \).

Dacă \( \color{blue} b \) poate fi scris sub forma \( \color{blue} b \color{dimgray} = \color{red} a^{\color{orange} c } \),
atunci \( x = \color{orange} c \),
iar \( S = \{ \color{orange} c \color{dimgray} \} \).


exemple
Să se rezolve, în \( \mathbb{R} \), ecuația
   \( 4^x - 64 = 0 \).

Soluție:

   \( 4^x - 64 = 0 \)
   \( 4^x = 64 \)
   \( 4^x = 4^3 \)
   \( x = 3 \)

sau

   \( 4^x - 64 = 0 \)
   \( 4^x = 64 \)
   \( \log_4{4^x} = \log_4{64} \)
   \( x \cdot \log_4{4} = \log_4{64} \)
   \( x \cdot 1 = \log_4{64} \)
   \( x = \log_4{4^3} \)
   \( x = 3 \cdot \log_4{4} \)
   \( x = 3 \cdot 1 \)
   \( x = 3 \)

deci \( S = \{ 3 \} \).


exerciții

Mulțimea de soluții a ecuației \( 2^x - 256= 0 \),
este:

    \(S=\{8\}\)

    \(S=\{128\}\)

    \(S=\{127\}\)

    \(S=\{254\}\)

    \(S=\{7\}\)


 


exercițiu nou

Mulțimea de soluții a ecuației \( 2^x - 256= 0 \),
este: \(S=\{8\}\).

Soluție:

   \( 2^x - 256 = 0 \)
   \( 2^x = 256 \)
   \( 2^x = 2^{8} \)
   \( x = 8 \)

sau

   \( 2^x - 256 = 0 \)
   \( 2^x = 256 \)
   \( \log_2{2^x} = \log_2{256} \)
   \( x \cdot \log_2{2} = \log_2{256} \)
   \( x \cdot 1 = \log_2{256} \)
   \( x = \log_2{2^{8}} \)
   \( x = 8 \cdot \log_2{2} \)
   \( x = 8 \cdot 1 \)
   \( x = 8 \)

deci \( S = \{ 8 \} \).