Matematică >> Ecuații exponentiale >> 1 b.
teorie
Pentru a rezolva ecuația
\( \displaystyle \color{red}a^{\color{dimgray}x} \color{dimgray} = \color{blue}b \),
trebuie ca \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \), altfel mulțimea de soluții este \( S = \emptyset \).
În cazul \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \) se logaritmează în baza \( \color{red}a \), astfel:
\( \log_{ \color{red} a} \color{red} a^{ \color{dimgray} x} \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( x \cdot \log_{ \color{red} a} \color{red} a \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( x \cdot 1 = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( x = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
și se scrie mulțimea de soluții \( S = \{ \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \color{dimgray} \} \).
Dacă \( \color{blue} b \) poate fi scris sub forma \( \color{blue} b \color{dimgray} = \color{red} a^{\color{orange} c } \),
atunci \( x = \color{orange} c \),
iar \( S = \{ \color{orange} c \color{dimgray} \} \).
\( \displaystyle \color{red}a^{\color{dimgray}x} \color{dimgray} = \color{blue}b \),
trebuie ca \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \), altfel mulțimea de soluții este \( S = \emptyset \).
În cazul \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \) se logaritmează în baza \( \color{red}a \), astfel:
\( \log_{ \color{red} a} \color{red} a^{ \color{dimgray} x} \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( x \cdot \log_{ \color{red} a} \color{red} a \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( x \cdot 1 = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( x = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
și se scrie mulțimea de soluții \( S = \{ \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \color{dimgray} \} \).
Dacă \( \color{blue} b \) poate fi scris sub forma \( \color{blue} b \color{dimgray} = \color{red} a^{\color{orange} c } \),
atunci \( x = \color{orange} c \),
iar \( S = \{ \color{orange} c \color{dimgray} \} \).
exemple
Să se rezolve, în \( \mathbb{R} \), ecuația
\( 4^x - 17 = 0 \).
Soluție:
\( 4^x - 17 = 0 \)
\( 4^x = 17 \)
\( \log_4{4^x} = \log_4{17} \)
\( x \cdot \log_4{4} = \log_4{17} \)
\( x \cdot 1 = \log_4{17} \)
\( x = \log_4{17} \)
deci \( S = \{ \log_4{17} \} \).
\( 4^x - 17 = 0 \).
Soluție:
\( 4^x - 17 = 0 \)
\( 4^x = 17 \)
\( \log_4{4^x} = \log_4{17} \)
\( x \cdot \log_4{4} = \log_4{17} \)
\( x \cdot 1 = \log_4{17} \)
\( x = \log_4{17} \)
deci \( S = \{ \log_4{17} \} \).
exerciții
Mulțimea de soluții a ecuației \( 13^x - 59= 0 \),
este:
\(S= \{ \log_{13}{59} \}\).
\( 13^x - 59 = 0 \)
\( 13^x = 59 \)
\( \log_13{13^x} = \log_13{59} \)
\( x \cdot \log_13{13} = \log_13{59} \)
\( x \cdot 1 = \log_13{59} \)
\( x = \log_13{59} \)
deci \( S= \{ \log_{13}{59} \} \).