Ecuații exponențiale

Exerciții și probleme... ecuații exponențiale.

Matematică >> Ecuații exponentiale >> 1 b.


teorie
Pentru a rezolva ecuația
    \( \displaystyle \color{red}a^{\color{dimgray}x} \color{dimgray} = \color{blue}b \),
trebuie ca \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \), altfel mulțimea de soluții este \( S = \emptyset \).

În cazul \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \) se logaritmează în baza \( \color{red}a \), astfel:
   \( \log_{ \color{red} a} \color{red} a^{ \color{dimgray} x} \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
   \( x \cdot \log_{ \color{red} a} \color{red} a \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
   \( x \cdot 1 = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
   \( x = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)

și se scrie mulțimea de soluții \( S = \{ \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \color{dimgray} \} \).

Dacă \( \color{blue} b \) poate fi scris sub forma \( \color{blue} b \color{dimgray} = \color{red} a^{\color{orange} c } \),
atunci \( x = \color{orange} c \),
iar \( S = \{ \color{orange} c \color{dimgray} \} \).


exemple
Să se rezolve, în \( \mathbb{R} \), ecuația
   \( 4^x - 17 = 0 \).

Soluție:

   \( 4^x - 17 = 0 \)
   \( 4^x = 17 \)
   \( \log_4{4^x} = \log_4{17} \)
   \( x \cdot \log_4{4} = \log_4{17} \)
   \( x \cdot 1 = \log_4{17} \)
   \( x = \log_4{17} \)

deci \( S = \{ \log_4{17} \} \).


exerciții

Mulțimea de soluții a ecuației \( 13^x - 7= 0 \),
este:

    \( \displaystyle S= \{ \log_{13}{7} \}\)

    \( \displaystyle S = \{ 6 \}\)

    \( \displaystyle S= \{ \frac{7}{13} \}\)

    \( \displaystyle S= \{ \log_{7}{13} \}\)

    \( \displaystyle S= \{ \frac{13}{7} \}\)


 


exercițiu nou

Mulțimea de soluții a ecuației \( 13^x - 7= 0 \),
este: \(S= \{ \log_{13}{7} \}\).

   \( 13^x - 7 = 0 \)
   \( 13^x = 7 \)
   \( \log_13{13^x} = \log_13{7} \)
   \( x \cdot \log_13{13} = \log_13{7} \)
   \( x \cdot 1 = \log_13{7} \)
   \( x = \log_13{7} \)

deci \( S= \{ \log_{13}{7} \} \).