Matematică >> Ecuații exponentiale >> 2 a.
\( \displaystyle \color{red}a^{\color{dimgray}f(x)} \color{dimgray} = \color{blue}b \),
trebuie ca \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \), altfel mulțimea de soluții este \( S = \emptyset \).
În cazul \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \) se logaritmează în baza \( \color{red}a \), astfel:
\( \log_{ \color{red} a} \color{red} a^{ \color{dimgray} f(x)} \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( f(x) \cdot \log_{ \color{red} a} \color{red} a \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( f(x) \cdot 1 = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
\( f(x) = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
și se rezolvă această ultimă ecuație.
Dacă \( \color{blue} b \) poate fi scris sub forma \( \color{blue} b \color{dimgray} = \color{red} a^{\color{orange} c } \),
atunci ecuația inițială devine \( f(x) = \color{orange} c \).
\( 2^{x+1} - 32 = 0 \).
Soluție:
\( 2^{x+1} - 32 = 0 \)
\( 2^{x+1} = 32 \)
\( 2^{x+1} = 2^5 \)
\( x+1 = 5 \)
\( x = 5 - 1 \)
\( x = 4 \)
sau
\( 2^{x+1} - 32 = 0 \)
\( 2^{x+1} = 32 \)
\( \log_2{2^{x+1}} = \log_2{32} \)
\( (x+1) \cdot \log_2{2} = \log_2{32} \)
\( (x+1) \cdot 1 = \log_2{32} \)
\( x + 1 = \log_2{32} \)
\( x + 1 = \log_2{2^5} \)
\( x + 1 = 5 \cdot \log_2{2} \)
\( x + 1 = 5 \cdot 1 \)
\( x + 1 = 5 \)
\( x = 5 - 1 \)
\( x = 4 \)
deci \( S = \{ 4 \} \).
Mulțimea de soluții a ecuației \( 6^{x - 6} - 216= 0 \),
este:
\(S=\{9\}\).
\( 6^{x - 6} - 216 = 0 \)
\( 6^{x - 6} = 216 \)
\( 6^{x - 6} = 6^{3} \)
\( x - 6 = 3 \)
\( x = 3 + 6 \)
\( x = 9 \)
sau
\( 6^{x - 6} - 216 = 0 \)
\( 6^{x - 6} = 216 \)
\( \log_6{6^{x - 6}} = \log_6{216} \)
\( (x - 6) \cdot \log_6{6} = \log_6{216} \)
\( (x - 6) \cdot 1 = \log_6{216} \)
\( x - 6 = \log_6{6^{3}} \)
\( x - 6 = 3 \cdot \log_6{6} \)
\( x - 6 = 3 \cdot 1 \)
\( x - 6 = 3 \)
\( x = 3 + 6 \)
\( x = 9 \)
deci \( S = \{ 9 \} \).