Ecuații exponențiale

Exerciții și probleme... ecuații exponențiale.

Matematică >> Ecuații exponentiale >> 2 a.


teorie
Pentru a rezolva ecuația
    \( \displaystyle \color{red}a^{\color{dimgray}f(x)} \color{dimgray} = \color{blue}b \),
trebuie ca \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \), altfel mulțimea de soluții este \( S = \emptyset \).

În cazul \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \) se logaritmează în baza \( \color{red}a \), astfel:
   \( \log_{ \color{red} a} \color{red} a^{ \color{dimgray} f(x)} \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
   \( f(x) \cdot \log_{ \color{red} a} \color{red} a \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
   \( f(x) \cdot 1 = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
   \( f(x) = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)

și se rezolvă această ultimă ecuație.

Dacă \( \color{blue} b \) poate fi scris sub forma \( \color{blue} b \color{dimgray} = \color{red} a^{\color{orange} c } \),
atunci ecuația inițială devine \( f(x) = \color{orange} c \).


exemple
Să se rezolve, în \( \mathbb{R} \), ecuația
   \( 2^{x+1} - 32 = 0 \).

Soluție:

   \( 2^{x+1} - 32 = 0 \)
   \( 2^{x+1} = 32 \)
   \( 2^{x+1} = 2^5 \)
   \( x+1 = 5 \)
   \( x = 5 - 1 \)
   \( x = 4 \)

sau

   \( 2^{x+1} - 32 = 0 \)
   \( 2^{x+1} = 32 \)
   \( \log_2{2^{x+1}} = \log_2{32} \)
   \( (x+1) \cdot \log_2{2} = \log_2{32} \)
   \( (x+1) \cdot 1 = \log_2{32} \)
   \( x + 1 = \log_2{32} \)
   \( x + 1 = \log_2{2^5} \)
   \( x + 1 = 5 \cdot \log_2{2} \)
   \( x + 1 = 5 \cdot 1 \)
   \( x + 1 = 5 \)
   \( x = 5 - 1 \)
   \( x = 4 \)

deci \( S = \{ 4 \} \).


exerciții

Mulțimea de soluții a ecuației \( 3^{x + 9} - 1= 0 \),
este:

    \(S=\{-2\}\)

    \(S=\{-1\}\)

    \(S=\{-9\}\)

    \(S=\{9\}\)

    \(S=\{0\}\)


 


exercițiu nou

Mulțimea de soluții a ecuației \( 3^{x + 9} - 1= 0 \),
este: \(S=\{-9\}\).

   \( 3^{x + 9} - 1 = 0 \)
   \( 3^{x + 9} = 1 \)
   \( 3^{x + 9} = 3^{0} \)
   \( x + 9 = 0 \)
   \( x = 0 - 9 \)
   \( x = -9 \)

sau

   \( 3^{x + 9} - 1 = 0 \)
   \( 3^{x + 9} = 1 \)
   \( \log_3{3^{x + 9}} = \log_3{1} \)
   \( (x + 9) \cdot \log_3{3} = \log_3{1} \)
   \( (x + 9) \cdot 1 = \log_3{1} \)
   \( x + 9 = \log_3{3^{0}} \)
   \( x + 9 = 0 \cdot \log_3{3} \)
   \( x + 9 = 0 \cdot 1 \)
   \( x + 9 = 0 \)
   \( x = 0 - 9 \)
   \( x = -9 \)

deci \( S = \{ -9 \} \).