Ecuații exponențiale

Exerciții și probleme... ecuații exponențiale.

Matematică >> Ecuații exponentiale >> 2 a.


teorie
Pentru a rezolva ecuația
    \( \displaystyle \color{red}a^{\color{dimgray}f(x)} \color{dimgray} = \color{blue}b \),
trebuie ca \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \), altfel mulțimea de soluții este \( S = \emptyset \).

În cazul \( \color{blue} b \color{dimgray} > 0 \) se logaritmează în baza \( \color{red}a \), astfel:
   \( \log_{ \color{red} a} \color{red} a^{ \color{dimgray} f(x)} \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
   \( f(x) \cdot \log_{ \color{red} a} \color{red} a \color{dimgray} = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
   \( f(x) \cdot 1 = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)
   \( f(x) = \log_{ \color{red} a} \color{blue} b \)

și se rezolvă această ultimă ecuație.

Dacă \( \color{blue} b \) poate fi scris sub forma \( \color{blue} b \color{dimgray} = \color{red} a^{\color{orange} c } \),
atunci ecuația inițială devine \( f(x) = \color{orange} c \).


exemple
Să se rezolve, în \( \mathbb{R} \), ecuația
   \( 2^{x+1} - 32 = 0 \).

Soluție:

   \( 2^{x+1} - 32 = 0 \)
   \( 2^{x+1} = 32 \)
   \( 2^{x+1} = 2^5 \)
   \( x+1 = 5 \)
   \( x = 5 - 1 \)
   \( x = 4 \)

sau

   \( 2^{x+1} - 32 = 0 \)
   \( 2^{x+1} = 32 \)
   \( \log_2{2^{x+1}} = \log_2{32} \)
   \( (x+1) \cdot \log_2{2} = \log_2{32} \)
   \( (x+1) \cdot 1 = \log_2{32} \)
   \( x + 1 = \log_2{32} \)
   \( x + 1 = \log_2{2^5} \)
   \( x + 1 = 5 \cdot \log_2{2} \)
   \( x + 1 = 5 \cdot 1 \)
   \( x + 1 = 5 \)
   \( x = 5 - 1 \)
   \( x = 4 \)

deci \( S = \{ 4 \} \).


exerciții

Mulțimea de soluții a ecuației \( 5^{x + 6} - 125= 0 \),
este:

    \(S=\{25\}\)

    \(S=\{120\}\)

    \(S=\{9\}\)

    \(S=\{2\}\)

    \(S=\{-3\}\)


 


exercițiu nou

Mulțimea de soluții a ecuației \( 5^{x + 6} - 125= 0 \),
este: \(S=\{-3\}\).

   \( 5^{x + 6} - 125 = 0 \)
   \( 5^{x + 6} = 125 \)
   \( 5^{x + 6} = 5^{3} \)
   \( x + 6 = 3 \)
   \( x = 3 - 6 \)
   \( x = -3 \)

sau

   \( 5^{x + 6} - 125 = 0 \)
   \( 5^{x + 6} = 125 \)
   \( \log_5{5^{x + 6}} = \log_5{125} \)
   \( (x + 6) \cdot \log_5{5} = \log_5{125} \)
   \( (x + 6) \cdot 1 = \log_5{125} \)
   \( x + 6 = \log_5{5^{3}} \)
   \( x + 6 = 3 \cdot \log_5{5} \)
   \( x + 6 = 3 \cdot 1 \)
   \( x + 6 = 3 \)
   \( x = 3 - 6 \)
   \( x = -3 \)

deci \( S = \{ -3 \} \).