Funcţia de gradul întâi, \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x) = ax + b \),
al cărei grafic trece prin punctele \( A( \color{red}3 \color{dimgray}, \color{blue} - 2 \color{dimgray}) \) și \( B( \color{fuchsia}1 \color{dimgray}, \color{darkmagenta}2 \color{dimgray}) \), are coeficienţii:

Funcţia de gradul întâi, \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x) = ax + b \),
al cărei grafic trece prin punctele \( A( \color{red}3 \color{dimgray}, \color{blue} - 2 \color{dimgray}) \) și \( B( \color{fuchsia}1 \color{dimgray}, \color{darkmagenta}2 \color{dimgray}) \), are coeficienţii:
\( a = -2 \) și \( b = 4 \); \( f(x) = - 2x + 4 \).

Deoarece \( A( \color{red} 3 \color{dimgray}, \color{blue} - 2 \color{dimgray}) \) apaţine graficului funcţiei \( f \), se obţine \( f( \color{red} 3 \color{dimgray} ) = \color{blue} - 2 \), adică \( a \cdot \color{red}3\color{dimgray} + b = \color{blue} - 2 \).
Deoarece \( B( \color{fuchsia} 1 \color{dimgray}, \color{darkmagenta} 2 \color{dimgray}) \) apaţine graficului funcţiei \( f \), se obţine \( f( \color{fuchsia} 1 \color{dimgray} ) = \color{darkmagenta} 2 \), adică \( a \cdot \color{fuchsia}1 \color{dimgray} + b = \color{darkmagenta} 2 \).

Trebuie rezolvat sistemul
\( \displaystyle \begin{cases} a \cdot \color{red}3\color{dimgray} + b = \color{blue} - 2\\ a \cdot \color{fuchsia}1 \color{dimgray} + b = \color{darkmagenta} 2 \\ \end{cases}\)

adică
\( \displaystyle \begin{cases} 3a + b = - 2\\ a + b = 2 \\ \end{cases}\)

Înmulţind prima ecuaţie cu \( -1 \) se obţine:
\( \displaystyle \begin{cases} - 3a - b = 2\\ a + b = 2 \\ \end{cases}\)

Adunând cele două ecuaţii se obţine:
\( - 2a = 4 \)
\( a = - 2 \).

Înlocuind \( a = - 2 \) în prima ecuaţie se obţine:
\( 3 \cdot (-2) + b = - 2 \)
\( - 6 + b = - 2 \)
\( b = - 2 + 6 \)
\( b = 4 \).

Deci funcţia căutată este: \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x) = - 2x + 4 \).

***
La click se selectează și copiază textul în clipboard.
Textul se lipește într-un TeX front-end program (de exemplu TeXworks) care îl transformă în .pdf
***


Întregul fișier .tex
\documentclass[12pt, a4paper, twoside]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{enumerate} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage{geometry} \geometry{ a4paper, total={210mm,297mm}, left=20mm, right=15mm, top=20mm, bottom=10mm, } \usepackage{hyperref} \hypersetup{ hidelinks} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \rhead{\href{http://www.pro-matematica.ro}{pro-matematica.ro}} \usepackage[romanian]{babel} \usepackage{combelow} \usepackage{newunicodechar} \newunicodechar{Ș}{\cb{S}} \newunicodechar{ș}{\cb{s}} \newunicodechar{Ț}{\cb{T}} \newunicodechar{ț}{\cb{t}} \newunicodechar{Ă}{\v{A}} \newunicodechar{ă}{\v{a}} \newunicodechar{Â}{\^{A}} \newunicodechar{â}{\^{a}} \newunicodechar{Î}{\^{I}} \newunicodechar{î}{\^{i}} \usepackage{xlop} \usepackage{cancel} \begin{document} Determinați funcţia de gradul întâi, \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x) = ax + b \), al cărei grafic trece prin punctele \( A(3, - 2) \) și \( B(1,2) \). \( \newline \) Soluție:\( \newline \) Deoarece \( A( 3, - 2) \) apaţine graficului funcţiei \( f \), se obţine \( f( 3 ) = - 2 \), \( \newline \)adică \( a \cdot3 + b = - 2 \). Deoarece \( B( 1, 2) \) apaţine graficului funcţiei \( f \), se obţine \( f( 1 ) = 2 \), \( \newline \)adică \( a \cdot1 + b = 2 \).\( \newline \) Trebuie rezolvat sistemul \( \displaystyle \begin{cases} a \cdot3 + b = - 2\\ a \cdot1 + b = 2 \\ \end{cases}\) adică \( \displaystyle \begin{cases} 3a + b = - 2\\ a + b = 2 \\ \end{cases}\). Înmulţind prima ecuaţie cu \( -1 \) se obţine: \( \displaystyle \begin{cases} - 3a - b = 2\\ a + b = 2 \\ \end{cases}\). Adunând cele două ecuaţii se obţine:\( \newline \) \( - 2a = 4 \)\( \newline \) \( a = - 2 \). Înlocuind \( a = - 2 \) în prima ecuaţie se obţine:\( \newline \) \( 3 \cdot (-2) + b = - 2 \newline \) \( - 6 + b = - 2 \newline \) \( b = - 2 + 6 \newline \) \( b = 4 \). Deci funcţia căutată este: \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x) = - 2x + 4 \). \vspace{2mm} \end{document}


Doar problema în format .tex
Determinați funcţia de gradul întâi, \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x) = ax + b \), al cărei grafic trece prin punctele \( A(3, - 2) \) și \( B(1,2) \). \( \newline \) Soluție:\( \newline \) Deoarece \( A( 3, - 2) \) apaţine graficului funcţiei \( f \), se obţine \( f( 3 ) = - 2 \), \( \newline \)adică \( a \cdot3 + b = - 2 \). Deoarece \( B( 1, 2) \) apaţine graficului funcţiei \( f \), se obţine \( f( 1 ) = 2 \), \( \newline \)adică \( a \cdot1 + b = 2 \).\( \newline \) Trebuie rezolvat sistemul \( \displaystyle \begin{cases} a \cdot3 + b = - 2\\ a \cdot1 + b = 2 \\ \end{cases}\) adică \( \displaystyle \begin{cases} 3a + b = - 2\\ a + b = 2 \\ \end{cases}\). Înmulţind prima ecuaţie cu \( -1 \) se obţine: \( \displaystyle \begin{cases} - 3a - b = 2\\ a + b = 2 \\ \end{cases}\). Adunând cele două ecuaţii se obţine:\( \newline \) \( - 2a = 4 \)\( \newline \) \( a = - 2 \). Înlocuind \( a = - 2 \) în prima ecuaţie se obţine:\( \newline \) \( 3 \cdot (-2) + b = - 2 \newline \) \( - 6 + b = - 2 \newline \) \( b = - 2 + 6 \newline \) \( b = 4 \). Deci funcţia căutată este: \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x) = - 2x + 4 \).