Pe \( \mathbb{R} \) se definește legea de compoziție $x * y = xy -3 x -3 y + 12 $.
Este legea de compoziție \( * \) asociativă pe \( \mathbb{R} \)?

Pe \( \mathbb{R} \) se definește legea de compoziție $x * y = xy -3 x -3 y + 12 $.
Este legea de compoziție \( * \) asociativă pe \( \mathbb{R} \)?

Soluție:

Legea de compoziție \( * \) este asociativă pe \( \mathbb{R} \)
\( \Leftrightarrow \)
\((x * y) * z = x * (y * z), \forall x, y, z \in \mathbb{R} \)

\( \displaystyle \begin{aligned} (x * y) * z & = ( xy -3x -3y + 12 ) * z = \\\ & = ( xy -3x -3y + 12 ) z -3 ( xy -3x -3y + 12 ) -3 z + 12 = \\\ & = xyz -3xz -3yz + 12z -3 xy + 9x + 9y - 36 -3z + 12 = \\\ & = xyz -3xz -3yz -3xy + 9z + 9x + 9y - 24 (1) \end{aligned} \)

\( \displaystyle \begin{aligned} x * (y * z) & = x * ( yz -3y -3z + 12 ) = \\\ & = x( yz -3y -3z + 12 ) -3x -3( yz -3y -3z + 12 ) + 12 = \\\ & = xyz -3xy -3xz + 12x -3x -3yz + 9y + 9z - 36 + 12 = \\\ & = xyz -3xy -3xz -3yz + 9x + 9y + 9z - 24 (2) \end{aligned} \)

din \( (1) \) și \( (2) \Rightarrow \) legea de compoziție \( * \) este asociativă pe \( \mathbb{R} \).

***
La click se selectează și copiază textul în clipboard.
Textul se lipește într-un TeX front-end program (de exemplu TeXworks) care îl transformă în .pdf
***


Întregul fișier .tex
\documentclass[12pt, a4paper, twoside]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{enumerate} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage{geometry} \geometry{ a4paper, total={210mm,297mm}, left=20mm, right=15mm, top=20mm, bottom=10mm, } \usepackage{hyperref} \hypersetup{ hidelinks} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \rhead{\href{http://www.pro-matematica.ro}{pro-matematica.ro}} \usepackage[romanian]{babel} \usepackage{combelow} \usepackage{newunicodechar} \newunicodechar{Ș}{\cb{S}} \newunicodechar{ș}{\cb{s}} \newunicodechar{Ț}{\cb{T}} \newunicodechar{ț}{\cb{t}} \newunicodechar{Ă}{\v{A}} \newunicodechar{ă}{\v{a}} \newunicodechar{Â}{\^{A}} \newunicodechar{â}{\^{a}} \newunicodechar{Î}{\^{I}} \newunicodechar{î}{\^{i}} \usepackage{xlop} \usepackage{cancel} \begin{document} Pe \( \mathbb{R} \) se definește legea de compoziție $x * y = xy -3 x -3 y + 12 $. Verificaţi dacă legea de compoziție \( * \) este asociativă pe \( \mathbb{R} \).\( \newline \) Soluție:\( \newline \) Legea de compoziție \( * \) este asociativă pe \( \mathbb{R} \) \( \Leftrightarrow \) \((x * y) * z = x * (y * z), \forall x, y, z \in \mathbb{R} \) \( \displaystyle \begin{aligned} (x * y) * z & = ( xy -3x -3y + 12 ) * z = \\\ & = ( xy -3x -3y + 12 ) z -3 ( xy -3x -3y + 12 ) -3 z + 12 = \\\ & = xyz -3xz -3yz + 12z -3 xy + 9x + 9y - 36 -3z + 12 = \\\ & = xyz -3xz -3yz -3xy + 9z + 9x + 9y - 24 (1) \end{aligned} \) \( \displaystyle \begin{aligned} x * (y * z) & = x * ( yz -3y -3z + 12 ) = \\\ & = x( yz -3y -3z + 12 ) -3x -3( yz -3y -3z + 12 ) + 12 = \\\ & = xyz -3xy -3xz + 12x -3x -3yz + 9y + 9z - 36 + 12 = \\\ & = xyz -3xy -3xz -3yz + 9x + 9y + 9z - 24 (2) \end{aligned} \) din \( (1) \) și \( (2) \Rightarrow \) legea de compoziție \( * \) este asociativă pe \( \mathbb{R} \). \vspace{2mm} \end{document}


Doar problema în format .tex
Pe \( \mathbb{R} \) se definește legea de compoziție $x * y = xy -3 x -3 y + 12 $. Verificaţi dacă legea de compoziție \( * \) este asociativă pe \( \mathbb{R} \).\( \newline \) Soluție:\( \newline \) Legea de compoziție \( * \) este asociativă pe \( \mathbb{R} \) \( \Leftrightarrow \) \((x * y) * z = x * (y * z), \forall x, y, z \in \mathbb{R} \) \( \displaystyle \begin{aligned} (x * y) * z & = ( xy -3x -3y + 12 ) * z = \\\ & = ( xy -3x -3y + 12 ) z -3 ( xy -3x -3y + 12 ) -3 z + 12 = \\\ & = xyz -3xz -3yz + 12z -3 xy + 9x + 9y - 36 -3z + 12 = \\\ & = xyz -3xz -3yz -3xy + 9z + 9x + 9y - 24 (1) \end{aligned} \) \( \displaystyle \begin{aligned} x * (y * z) & = x * ( yz -3y -3z + 12 ) = \\\ & = x( yz -3y -3z + 12 ) -3x -3( yz -3y -3z + 12 ) + 12 = \\\ & = xyz -3xy -3xz + 12x -3x -3yz + 9y + 9z - 36 + 12 = \\\ & = xyz -3xy -3xz -3yz + 9x + 9y + 9z - 24 (2) \end{aligned} \) din \( (1) \) și \( (2) \Rightarrow \) legea de compoziție \( * \) este asociativă pe \( \mathbb{R} \).