Matematică >> Legi de compoziție >> 1

Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -2 x -2 y + 6 $.
Legea de compoziție $ * $ admite, pe $ \mathbb{R} $, elemente simetrizabile:

exercițiu nou

Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -2 x -2 y + 6 $. Studiați dacă legea de compoziție $ * $ admite elemente simetrizabile pe $ \mathbb{R} $.

Soluție:

Un element $ x \in \mathbb{R} $ este simetrizabil în raport cu legea de compoziție $ * $
$ \Leftrightarrow $
pentru $ x \in \mathbb{R}, \exists x' \in \mathbb{R} $ astfel încât $x * x' = x' * x = e $.

Comutativitatea legii de compoziție $ * $ asigură egalitatea $x * x' = x' * x, \forall x, x' \in \mathbb{R} $.

$ \displaystyle \begin{aligned} x * x' = e & \Leftrightarrow xx' -2x -2x' + 6 = 3 \\\ & \Leftrightarrow xx' -2x -2x' + 6 = 3 \\\ & \Leftrightarrow xx' -2x' = 3 + 2x -6 \\\ & \Leftrightarrow x' ( x -2 ) = 2x -3 \\\ & \Leftrightarrow x' = \frac{2x -3}{x -2}, x \neq 2 \end{aligned} $

Se mai verifică dacă pentru $x \neq 2 $, atunci
$ \displaystyle \begin{aligned} \frac{2x -3}{x -2} \neq 2 & \Leftrightarrow 2x -3 \neq 2(x -2) \\\ & \Leftrightarrow 2x -3 \neq 2x -4 \\\ & \Leftrightarrow -3 \neq -4. \end{aligned} $

Deci orice element $ x \in \mathbb{R} \setminus \{2\} $ este simetrizabil și are simetricul $ \displaystyle x' = \frac{2x -3}{x -2} \in \mathbb{R} \setminus \{2 \} $.

***
La click se selectează și copiază textul în clipboard.
Textul se lipește într-un TeX front-end program (de exemplu TeXworks) care îl transformă în .pdf
***

Întregul fișier .tex
\documentclass[12pt, a4paper, twoside]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{enumerate} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage{geometry} \geometry{ a4paper, total={210mm,297mm}, left=20mm, right=15mm, top=20mm, bottom=10mm, } \usepackage{hyperref} \hypersetup{ hidelinks} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \rhead{\href{http://www.pro-matematica.ro}{pro-matematica.ro}} \usepackage[romanian]{babel} \usepackage{combelow} \usepackage{newunicodechar} \newunicodechar{Ș}{\cb{S}} \newunicodechar{ș}{\cb{s}} \newunicodechar{Ț}{\cb{T}} \newunicodechar{ț}{\cb{t}} \newunicodechar{Ă}{\v{A}} \newunicodechar{ă}{\v{a}} \newunicodechar{Â}{\^{A}} \newunicodechar{â}{\^{a}} \newunicodechar{Î}{\^{I}} \newunicodechar{î}{\^{i}} \usepackage{xlop} \usepackage{cancel} \begin{document} Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -2 x -2 y + 6 $. Studiați dacă legea de compoziție $ * $ admite elemente simetrizabile pe $ \mathbb{R} $.$ \newline $ Soluție:$ \newline $ Un element $ x \in \mathbb{R} $ este simetrizabil în raport cu legea de compoziție $ * $ $ \Leftrightarrow $ pentru $ x \in \mathbb{R}, \exists x' \in \mathbb{R} $ astfel încât $x * x' = x' * x = e $. Comutativitatea legii de compoziție $ * $ asigură egalitatea $x * x' = x' * x, \forall x, x' \in \mathbb{R} $. $ \displaystyle \begin{aligned} x * x' = e & \Leftrightarrow xx' -2x -2x' + 6 = 3 \\\ & \Leftrightarrow xx' -2x -2x' + 6 = 3 \\\ & \Leftrightarrow xx' -2x' = 3 + 2x -6 \\\ & \Leftrightarrow x' ( x -2 ) = 2x -3 \\\ & \Leftrightarrow x' = \frac{2x -3}{x -2}, x \neq 2 \end{aligned} $ Se mai verifică dacă pentru $x \neq 2 $, atunci $ \displaystyle \begin{aligned} \frac{2x -3}{x -2} \neq 2 & \Leftrightarrow 2x -3 \neq 2(x -2) \\\ & \Leftrightarrow 2x -3 \neq 2x -4 \\\ & \Leftrightarrow -3 \neq -4. \end{aligned} $ Deci orice element $ x \in \mathbb{R} \setminus \{2\} $ este simetrizabil și are simetricul $ \displaystyle x' = \frac{2x -3}{x -2} \in \mathbb{R} \setminus \{2 \} $. \vspace{2mm} \end{document}

Doar problema în format .tex
Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -2 x -2 y + 6 $. Studiați dacă legea de compoziție $ * $ admite elemente simetrizabile pe $ \mathbb{R} $.$ \newline $ Soluție:$ \newline $ Un element $ x \in \mathbb{R} $ este simetrizabil în raport cu legea de compoziție $ * $ $ \Leftrightarrow $ pentru $ x \in \mathbb{R}, \exists x' \in \mathbb{R} $ astfel încât $x * x' = x' * x = e $. Comutativitatea legii de compoziție $ * $ asigură egalitatea $x * x' = x' * x, \forall x, x' \in \mathbb{R} $. $ \displaystyle \begin{aligned} x * x' = e & \Leftrightarrow xx' -2x -2x' + 6 = 3 \\\ & \Leftrightarrow xx' -2x -2x' + 6 = 3 \\\ & \Leftrightarrow xx' -2x' = 3 + 2x -6 \\\ & \Leftrightarrow x' ( x -2 ) = 2x -3 \\\ & \Leftrightarrow x' = \frac{2x -3}{x -2}, x \neq 2 \end{aligned} $ Se mai verifică dacă pentru $x \neq 2 $, atunci $ \displaystyle \begin{aligned} \frac{2x -3}{x -2} \neq 2 & \Leftrightarrow 2x -3 \neq 2(x -2) \\\ & \Leftrightarrow 2x -3 \neq 2x -4 \\\ & \Leftrightarrow -3 \neq -4. \end{aligned} $ Deci orice element $ x \in \mathbb{R} \setminus \{2\} $ este simetrizabil și are simetricul $ \displaystyle x' = \frac{2x -3}{x -2} \in \mathbb{R} \setminus \{2 \} $.