Matematică >> Legi de compoziție >> 1

Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -8 x -8 y + 72 $.
Legea de compoziție $ * $ admite, pe $ \mathbb{R} $, elemente simetrizabile:

exercițiu nou

Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -8 x -8 y + 72 $. Studiați dacă legea de compoziție $ * $ admite elemente simetrizabile pe $ \mathbb{R} $.

Soluție:

Un element $ x \in \mathbb{R} $ este simetrizabil în raport cu legea de compoziție $ * $
$ \Leftrightarrow $
pentru $ x \in \mathbb{R}, \exists x' \in \mathbb{R} $ astfel încât $x * x' = x' * x = e $.

Comutativitatea legii de compoziție $ * $ asigură egalitatea $x * x' = x' * x, \forall x, x' \in \mathbb{R} $.

$ \displaystyle \begin{aligned} x * x' = e & \Leftrightarrow xx' -8x -8x' + 72 = 9 \\\ & \Leftrightarrow xx' -8x -8x' + 72 = 9 \\\ & \Leftrightarrow xx' -8x' = 9 + 8x -72 \\\ & \Leftrightarrow x' ( x -8 ) = 8x -63 \\\ & \Leftrightarrow x' = \frac{8x -63}{x -8}, x \neq 8 \end{aligned} $

Se mai verifică dacă pentru $x \neq 8 $, atunci
$ \displaystyle \begin{aligned} \frac{8x -63}{x -8} \neq 8 & \Leftrightarrow 8x -63 \neq 8(x -8) \\\ & \Leftrightarrow 8x -63 \neq 8x -64 \\\ & \Leftrightarrow -63 \neq -64. \end{aligned} $

Deci orice element $ x \in \mathbb{R} \setminus \{8\} $ este simetrizabil și are simetricul $ \displaystyle x' = \frac{8x -63}{x -8} \in \mathbb{R} \setminus \{8 \} $.

***
La click se selectează și copiază textul în clipboard.
Textul se lipește într-un TeX front-end program (de exemplu TeXworks) care îl transformă în .pdf
***

Întregul fișier .tex
\documentclass[12pt, a4paper, twoside]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{enumerate} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage{geometry} \geometry{ a4paper, total={210mm,297mm}, left=20mm, right=15mm, top=20mm, bottom=10mm, } \usepackage{hyperref} \hypersetup{ hidelinks} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \rhead{\href{http://www.pro-matematica.ro}{pro-matematica.ro}} \usepackage[romanian]{babel} \usepackage{combelow} \usepackage{newunicodechar} \newunicodechar{Ș}{\cb{S}} \newunicodechar{ș}{\cb{s}} \newunicodechar{Ț}{\cb{T}} \newunicodechar{ț}{\cb{t}} \newunicodechar{Ă}{\v{A}} \newunicodechar{ă}{\v{a}} \newunicodechar{Â}{\^{A}} \newunicodechar{â}{\^{a}} \newunicodechar{Î}{\^{I}} \newunicodechar{î}{\^{i}} \usepackage{xlop} \usepackage{cancel} \begin{document} Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -8 x -8 y + 72 $. Studiați dacă legea de compoziție $ * $ admite elemente simetrizabile pe $ \mathbb{R} $.$ \newline $ Soluție:$ \newline $ Un element $ x \in \mathbb{R} $ este simetrizabil în raport cu legea de compoziție $ * $ $ \Leftrightarrow $ pentru $ x \in \mathbb{R}, \exists x' \in \mathbb{R} $ astfel încât $x * x' = x' * x = e $. Comutativitatea legii de compoziție $ * $ asigură egalitatea $x * x' = x' * x, \forall x, x' \in \mathbb{R} $. $ \displaystyle \begin{aligned} x * x' = e & \Leftrightarrow xx' -8x -8x' + 72 = 9 \\\ & \Leftrightarrow xx' -8x -8x' + 72 = 9 \\\ & \Leftrightarrow xx' -8x' = 9 + 8x -72 \\\ & \Leftrightarrow x' ( x -8 ) = 8x -63 \\\ & \Leftrightarrow x' = \frac{8x -63}{x -8}, x \neq 8 \end{aligned} $ Se mai verifică dacă pentru $x \neq 8 $, atunci $ \displaystyle \begin{aligned} \frac{8x -63}{x -8} \neq 8 & \Leftrightarrow 8x -63 \neq 8(x -8) \\\ & \Leftrightarrow 8x -63 \neq 8x -64 \\\ & \Leftrightarrow -63 \neq -64. \end{aligned} $ Deci orice element $ x \in \mathbb{R} \setminus \{8\} $ este simetrizabil și are simetricul $ \displaystyle x' = \frac{8x -63}{x -8} \in \mathbb{R} \setminus \{8 \} $. \vspace{2mm} \end{document}

Doar problema în format .tex
Pe $ \mathbb{R} $ se definește legea de compoziție $x * y = xy -8 x -8 y + 72 $. Studiați dacă legea de compoziție $ * $ admite elemente simetrizabile pe $ \mathbb{R} $.$ \newline $ Soluție:$ \newline $ Un element $ x \in \mathbb{R} $ este simetrizabil în raport cu legea de compoziție $ * $ $ \Leftrightarrow $ pentru $ x \in \mathbb{R}, \exists x' \in \mathbb{R} $ astfel încât $x * x' = x' * x = e $. Comutativitatea legii de compoziție $ * $ asigură egalitatea $x * x' = x' * x, \forall x, x' \in \mathbb{R} $. $ \displaystyle \begin{aligned} x * x' = e & \Leftrightarrow xx' -8x -8x' + 72 = 9 \\\ & \Leftrightarrow xx' -8x -8x' + 72 = 9 \\\ & \Leftrightarrow xx' -8x' = 9 + 8x -72 \\\ & \Leftrightarrow x' ( x -8 ) = 8x -63 \\\ & \Leftrightarrow x' = \frac{8x -63}{x -8}, x \neq 8 \end{aligned} $ Se mai verifică dacă pentru $x \neq 8 $, atunci $ \displaystyle \begin{aligned} \frac{8x -63}{x -8} \neq 8 & \Leftrightarrow 8x -63 \neq 8(x -8) \\\ & \Leftrightarrow 8x -63 \neq 8x -64 \\\ & \Leftrightarrow -63 \neq -64. \end{aligned} $ Deci orice element $ x \in \mathbb{R} \setminus \{8\} $ este simetrizabil și are simetricul $ \displaystyle x' = \frac{8x -63}{x -8} \in \mathbb{R} \setminus \{8 \} $.