Progresii aritmetice

Exerciții și probleme... progresii aritmetice.

Matematică >> Progresii aritmetice >> 18


teorie
Formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).

exemple
Determinați primul termen și rația unei progresiei aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \), știind că \( a_{4} = 15 \) și \( a_{17} = 67 \).

Rezolvare:
Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \), se obține:

$ \begin{cases} a_{4} = 15 \\ a_{17} = 67 \end{cases}$

$ \begin{cases} a_{1} + (4-1) \cdot r = 15 \\ a_{1} + (17-1) \cdot r = 67 \end{cases}$

$ \begin{cases} a_{1} + 3 \cdot r = 15 \\ a_{1} + 16 \cdot r = 67 \end{cases}$

Scăzând prima egalitate din a doua, se obține:
$ 13 \cdot r = 52 $
$ r = 4 $

cum \( r = 4 \), se obține:
\( a_{1} + 3 \cdot 4 = 15 \)
\( a_{1} + 12 = 15 \)
\( a_{1} = 15 - 12 \)
\( a_{1} = 3 \).

exerciții

Fie progresia aritmetică \( (a_n)_{n \geq 1} \), cu \( a_{8} = 54 \) și \( a_{30} = 208 \).
Primul termen și rația progresiei sunt:

 \( a_1 = \) 
 \( r = \) 

 


exercițiu nou

Fie progresia aritmetică \( (a_n)_{n \geq 1} \), cu \( a_{8} = 54 \) și \( a_{30} = 208 \).
Primul termen și rația progresiei sunt: \( a_1 = 5 \) și \( r = 7 \).

Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \), se obține:

$ \begin{cases} a_{8} = 54 \\ a_{30} = 208 \end{cases}$

$ \begin{cases} a_{1} + (8-1) \cdot r = 54 \\ a_{1} + (30-1) \cdot r = 208 \end{cases}$

$ \begin{cases} a_{1} + 7 \cdot r = 54 \\ a_{1} + 29 \cdot r = 208 \end{cases}$

Scăzând prima egalitate din a doua, se obține:
$ 22 \cdot r = 154 $
$ r = 7 $

cum \( r = 7 \), se obține:
\( a_{1} + 7 \cdot 7 = 54 \)
\( a_{1} + 49 = 54 \)
\( a_{1} = 54 - 49 \)
\( a_{1} = 5 \).