Matematică >> Progresii aritmetice >> 3
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).
Se poate folosi și faptul că pentru
$ p, q, r, s \in \mathbb{N} $ cu $ p + q = r + s $
are loc:
$ a_{p} + a_{q} = a_{r} + a_{s} $.
Rezolvare:
Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \), se obține:
\( a_{3} = a_{1} + (3-1) \cdot r = a_{1} + 2 \cdot r \)
\( a_{19} = a_{1} + (19-1) \cdot r = a_{1} + 18 \cdot r \)
\( a_{3} + a_{19} = a_{1} + 2 \cdot r + a_{1} + 18 \cdot r \)
\( a_{3} + a_{19} = 2 \cdot a_{1} + 20 \cdot r \),
iar
\( a_{6} = a_{1} + (6-1) \cdot r = a_{1} + 5 \cdot r \)
\( a_{16} = a_{1} + (16-1) \cdot r = a_{1} + 15 \cdot r \)
\( a_{6} + a_{16} = a_{1} + 5 \cdot r + a_{1} + 15 \cdot r \)
\( a_{6} + a_{16} = 2 \cdot a_{1} + 20 \cdot r \),
deci
\( a_{6} + a_{16} = a_{3} + a_{19} \)
\( a_{6} + a_{16} = 10 \).
Fie $ (a_n)_{n \geq 1} $ o progresie aritmetică.
Știind că $ a_{7} + a_{33} = 160 $, suma $ a_{11} + a_{29} $ este:
exercițiu nou
Fie $ (a_n)_{n \geq 1} $ o progresie aritmetică.
Știind că $ a_{7} + a_{33} = 160 $, suma $ a_{11} + a_{29} $ este $160$.
Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \), se obține:
\( a_{7} = a_{1} + (7-1) \cdot r = a_{1} + 6 \cdot r \)
\( a_{33} = a_{1} + (33-1) \cdot r = a_{1} + 32 \cdot r \)
\( a_{7} + a_{33} = a_{1} + 6 \cdot r + a_{1} + 32 \cdot r \)
\( a_{7} + a_{33} = 2 \cdot a_{1} + 38 \cdot r \),
iar
\( a_{11} = a_{1} + (11-1) \cdot r = a_{1} + 10 \cdot r \)
\( a_{29} = a_{1} + (29-1) \cdot r = a_{1} + 28 \cdot r \)
\( a_{11} + a_{29} = a_{1} + 10 \cdot r + a_{1} + 28 \cdot r \)
\( a_{11} + a_{29} = 2 \cdot a_{1} + 38 \cdot r \),
deci
\( a_{11} + a_{29} = a_{7} + a_{33} \)
\( a_{11} + a_{29} = 160 \).