Progresii aritmetice

Exerciții și probleme... progresii aritmetice.

Matematică >> Progresii aritmetice >> 13


teorie
Cunoscând primul termen \( a_1 \) şi rația \( r \), unei progresii aritmetice, se poate calcula suma primilor \( n \) termeni ai progresiei \( S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n \), folosind formula:
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \).

exemple
Calculați suma primilor \( 27 \) de termeni ai progresiei aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \), știind că \( a_1 = 2 \) și rația \( r = 5 \).

Rezolvare:
Folosind formula sumei primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \):
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \), se obține:

\( \displaystyle S_{27} = \frac{2a_1 + (27-1)r}{2} \cdot 27 \)

\( \displaystyle S_{27} = \frac{2 \cdot 2 + 26 \cdot 5}{2} \cdot 27 \)

\( \displaystyle S_{27} = \frac{4 + 130}{2} \cdot 27 \)

\( \displaystyle S_{27} = \frac{134}{2} \cdot 27 \)

\( \displaystyle S_{27} = 67 \cdot 27 \)

\( \displaystyle S_{27} = 1809 \).



exerciții

Suma primilor $ 56 $ termeni ai progresiei aritmetice $ (a_n)_{n \geq 1} $, cu $ a_1 = -5 $ și rația $ r = 3 $ este:

  \( S_{56} = \)   


 


exercițiu nou

Suma primilor $ 56 $ termeni ai progresiei aritmetice $ (a_n)_{n \geq 1} $,
cu $ a_1 = -5 $ și rația $ r = 3 $ este:
\( S_{56} = 4340\).

Folosind formula sumei primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \):
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \), se obține:

\( \displaystyle S_{56} = \frac{2a_1 + (56-1)r}{2} \cdot 56 \)

\( \displaystyle S_{56} = \frac{2 \cdot (-5) + 55 \cdot 3}{2} \cdot 56 \)

\( \displaystyle S_{56} = \frac{-10 + 165}{2} \cdot 56 \)

\( \displaystyle S_{56} = \frac{155}{2} \cdot 56 \)

\( \displaystyle S_{56} = 155 \cdot 28 \)

\( \displaystyle S_{56} = 4340 \).