Progresii aritmetice

Exerciții și probleme... progresii aritmetice.

Matematică >> Progresii aritmetice >> 21


teorie
Formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).

exemple
Verificați dacă \( 2015 \) este termen al progresiei aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \), știind că \( a_{4} = 15 \) și \( a_{17} = 67 \).

Rezolvare:
Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \), se obține:

$ \begin{cases} a_{4} = 15 \\ a_{17} = 67 \end{cases}$

$ \begin{cases} a_{1} + (4-1) \cdot r = 15 \\ a_{1} + (17-1) \cdot r = 67 \end{cases}$

$ \begin{cases} a_{1} + 3 \cdot r = 15 \\ a_{1} + 16 \cdot r = 67 \end{cases}$

Scăzând prima egalitate din a doua, se obține:
$ 13 \cdot r = 52 $
$ r = 4 $

cum \( r = 4 \), se obține:
\( a_{1} + 3 \cdot 4 = 15 \)
\( a_{1} + 12 = 15 \)
\( a_{1} = 15 - 12 \)
\( a_{1} = 3 \).

Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \),
se verifică dacă \( 2015 \) este termen al progresiei aritmetice:

\( 2015 = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \)
\( 2015 = 3 + ( n - 1 ) \cdot 4 \)
\( 3 + ( n - 1 ) \cdot 4 = 2015 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 4 = 2015 - 3 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 4 = 2012 \)
\( n - 1 = 503 \)
\( n = 504 \in \mathbb{N}\),
deci \( 2015 \) este termen al progresiei aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \),
mai exact \( a_{504} = 2015 \).

exerciții

Fie progresia aritmetică $ (a_n)_{n \geq 1} $,
cu $ a_{2} = 10 $ și $ a_{12} = 80 $.
Numărul $ 31 $ este termen al progresiei:

 nu
 da


 


exercițiu nou

Fie progresia aritmetică $ (a_n)_{n \geq 1} $,
cu $ a_{2} = 10 $ și $ a_{12} = 80 $.
Da, numărul $ 31 $ este termen al progresiei.

Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \), se obține:

$ \begin{cases} a_{2} = 10 \\ a_{12} = 80 \end{cases}$

$ \begin{cases} a_{1} + (2-1) \cdot r = 10 \\ a_{1} + (12-1) \cdot r = 80 \end{cases}$

$ \begin{cases} a_{1} + 1 \cdot r = 10 \\ a_{1} + 11 \cdot r = 80 \end{cases}$

Scăzând prima egalitate din a doua, se obține:
$ 10 \cdot r = 70 $
$ r = 7 $

cum \( r = 7 \), se obține:
\( a_{1} + 1 \cdot 7 = 10 \)
\( a_{1} + 7 = 10 \)
\( a_{1} = 10 - 7 \)
\( a_{1} = 3 \).

Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \),
se verifică dacă \( 31 \) este termen al progresiei aritmetice:

\( 31 = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \)
\( 31 = 3 + ( n - 1 ) \cdot 7 \)
\( 3 + ( n - 1 ) \cdot 7 = 31 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 7 = 31 - 3 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 7 = 28 \)
\( n - 1 = 4 \)
\( n = 5 \in \mathbb{N}\),
deci \( 31 \) este termen al progresiei aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \),
mai exact \( a_{5} = 31 \).