Matematică >> Progresii aritmetice >> 6
teorie
Cunoscând primii doi termeni ai unei progresii aritmetice (\( a_1 \) şi \( a_2 \)), se poate determina uşor rația \( r \) progresiei \( ( a_n )_{n \ge 1} \), folosind definiția:
\( \color{red} r = a_{2} - a_{1} \),
apoi se determină termenul de rang \( n \) al progresiei (\( a_n \)), folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).
\( \color{red} r = a_{2} - a_{1} \),
apoi se determină termenul de rang \( n \) al progresiei (\( a_n \)), folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).
exemple
Determinați al \( 13 \) -lea termen al șirului \( 3, 7, 11, 15, ... \).
Rezolvare:
Șirul este progresie aritmetică pentru că diferența dintre oricare doi termeni consecutivi este constantă (\( 4 \)).
Primii doi termeni ai progresiei sunt \( a_1 = 3 \) şi \( a_2 = 7 \), deci rația este:
\( \color{red} r = a_{2} - a_{1} \),
\( r = 7 - 3 = 4 \).
Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \),
pentru \( n = 13 \), se obține:
\( a_{13} = a_{1} + (13-1) \cdot r \)
\( a_{13} = 3 + 12 \cdot 4 = 3 + 48 = 51 \).
Rezolvare:
Șirul este progresie aritmetică pentru că diferența dintre oricare doi termeni consecutivi este constantă (\( 4 \)).
Primii doi termeni ai progresiei sunt \( a_1 = 3 \) şi \( a_2 = 7 \), deci rația este:
\( \color{red} r = a_{2} - a_{1} \),
\( r = 7 - 3 = 4 \).
Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \),
pentru \( n = 13 \), se obține:
\( a_{13} = a_{1} + (13-1) \cdot r \)
\( a_{13} = 3 + 12 \cdot 4 = 3 + 48 = 51 \).
exerciții
Al $29$-lea termen al șirului $ 8, 16, 24, 32, ...$ este $232$.
Șirul este progresie aritmetică pentru că diferența dintre oricare doi termeni consecutivi este constantă (\( 8 \)).
Primii doi termeni ai progresiei sunt \( a_{1} = 8 \) şi \( a_{2} = 16 \), deci rația este:
\( \color{red} r = a_{2} - a_{1} \),
\( r = 16 - 8 = 8 \).
Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \),
pentru \( n = 29 \), se obține:
\( a_{29} = a_{1} + (29-1) \cdot r \)
\( a_{29} = 8 + 28 \cdot 8 = 8 + 224 = 232 \).