aplicații ale trigonometriei în geometria plană

1.
Teorema sinusurilor:
În orice triunghi \( ABC \) avem \( \displaystyle \frac{a}{\sin A} = \) \( \displaystyle \frac{b}{\sin B} = \) \( \displaystyle \frac{c}{\sin C} = \) \( \displaystyle 2R \), unde \( R \) este raza cercului circumscris triunghiului.

Consecință:
\( \displaystyle a = 2 R \sin A \), \( \displaystyle b = 2 R \sin B \), \( \displaystyle c = 2 R \sin C \).

2.
Teorema tangentelor:
În orice triunghi \( ABC \) avem \( \displaystyle \frac{a-b}{a+b} = \) \( \displaystyle \text{tg} \frac{A-B}{2} \text{tg} \frac{C}{2} \) .

În orice triunghi \( ABC \) avem \( \displaystyle \frac{b-c}{b+c} = \) \( \displaystyle \text{tg} \frac{B-C}{2} \text{tg} \frac{A}{2} \) .

În orice triunghi \( ABC \) avem \( \displaystyle \frac{c-a}{c+a} = \) \( \displaystyle \text{tg} \frac{C-A}{2} \text{tg} \frac{B}{2} \) .

3.
Teorema cosinusului:
În orice triunghi \( ABC \) avem \( \displaystyle a^{2} = \) \( \displaystyle b^{2} + c^{2} - \) \( \displaystyle 2 b c \cos A \) .

În orice triunghi \( ABC \) avem \( \displaystyle b^{2} = \) \( \displaystyle c^{2} + a^{2} - \) \( \displaystyle 2 c a \cos B \) .

În orice triunghi \( ABC \) avem \( \displaystyle c^{2} = \) \( \displaystyle a^{2} + b^{2} - \) \( \displaystyle 2 a b \cos C \) .

Consecințe:
\( \displaystyle \cos A = \) \( \displaystyle \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} \), \( \displaystyle \cos B = \) \( \displaystyle \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a} \), \( \displaystyle \cos C = \) \( \displaystyle \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} \).

Pentru \( \displaystyle p = \frac{a+b+c}{2} \),
\( \displaystyle \cos \frac {A}{2} = \) \( \displaystyle \sqrt{\frac{p (p-a)}{b c}} \), \( \displaystyle \sin \frac {A}{2} = \) \( \displaystyle \sqrt{\frac{(p-b) (p-c)}{b c}} \), \( \displaystyle \text{tg} \frac {A}{2} = \) \( \displaystyle \sqrt{\frac{(p-b) (p-c)}{p (p-a)}} \), \( \displaystyle \text{ctg} \frac {A}{2} = \) \( \displaystyle \sqrt{\frac{p (p-a)}{(p-b) (p-c)}} \).

4.
Formule pentru aria triunghiului:
Se notează cu \( S \) aria triunghiului \( ABC \), cu \( \displaystyle p \) semiperimetrul triunghiului \( ABC \), iar cu \( h_{a} \), \( h_{b} \), \( h_{c} \), înălțimile din \( A \), \( B \), \( C \).
Aria \( S \) a triunghiului \( ABC \) este dată de:
\( \displaystyle S = \) \( \displaystyle \frac{a \cdot h_{a}}{2} \), \( \displaystyle S = \) \( \displaystyle \frac{b \cdot h_{b}}{2} \), \( \displaystyle S = \) \( \displaystyle \frac{c \cdot h_{c}}{2} \).
\( \displaystyle S = \) \( \displaystyle \frac{a b \sin C}{2} \), \( \displaystyle S = \) \( \displaystyle \frac{b c \sin A}{2} \), \( \displaystyle S = \) \( \displaystyle \frac{a c \sin B}{2} \).
\( \displaystyle S = \) \( \displaystyle \sqrt{p (p-a) (p-b) (p-c)} \), (formula lui Heron).
\( \displaystyle S = \) \( \displaystyle \frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A} \), \( \displaystyle S = \) \( \displaystyle \frac{b^2 \sin A \sin C}{2 \sin B} \), \( \displaystyle S = \) \( \displaystyle \frac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin C} \).

Consecință:
\( \displaystyle h_{a} = \) \( \displaystyle \frac{2}{a} \sqrt{p (p-a) (p-b) (p-c)} \).

5.
Raza cercului înscris într-un triunghi:
În orice triunghi \( ABC \), avem \( \displaystyle r = \) \( \displaystyle \frac{S}{p} \).

6.
Raza cercului circumscris unui triunghi:
În orice triunghi \( ABC \), avem \( \displaystyle R = \) \( \displaystyle \frac{a b c}{4 S} \).