formule pentru sinus și cosinus

1. Formula fundamentală a trigonometriei:
\( \displaystyle \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \), \( \forall x \in \mathbb{R} \)

2. Funcțiile cosinus și sinus sunt periodice și au perioada principală \( 2\pi \):
\( \displaystyle \cos(x + 2k \pi) = \cos x \), \( \forall x \in \mathbb{R} \), \( \forall k \in \mathbb{Z} \)
\( \displaystyle \sin(x + 2k \pi) = \sin x \), \( \forall x \in \mathbb{R} \), \( \forall k \in \mathbb{Z} \)

3. Funcția cosinus este pară, iar funcția sinus este impară:
\( \displaystyle \cos(-x ) = \cos x \), \( \forall x \in \mathbb{R} \)
\( \displaystyle \sin(-x) = - \sin x \), \( \forall x \in \mathbb{R} \)

4. Formule de reducere la primul cadran:
\( \cos(\pi -x) = - \cos x \), \( \forall x \in \mathbb{R} \)
\( \sin(\pi -x) = \sin x \), \( \forall x \in \mathbb{R} \)
\( \cos(\pi +x) = - \cos x \), \( \forall x \in \mathbb{R} \)
\( \sin(\pi +x) = - \sin x \), \( \forall x \in \mathbb{R} \)
\( \cos(2 \pi -x) = \cos x \), \( \forall x \in \mathbb{R} \)
\( \sin(2 \pi -x) = - \sin x \), \( \forall x \in \mathbb{R} \)

5. Cosinusul și sinusul sumei și diferenței:
\( \cos (a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \), \( \forall a, b \in \mathbb{R} \)
\( \cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \), \( \forall a, b \in \mathbb{R} \)
\( \sin (a-b) = \sin a \cos b - \sin b \cos a \), \( \forall a, b \in \mathbb{R} \)
\( \sin (a+b) = \sin a \cos b + \sin b \cos a \), \( \forall a, b \in \mathbb{R} \)
Consecințe:
\( \displaystyle \cos ( \frac{\pi}{2}-x) = \sin x \), \( \forall x \in \mathbb{R} \)
\( \displaystyle \sin ( \frac{\pi}{2}-x) = \cos x \), \( \forall x \in \mathbb{R} \)
\( \displaystyle \cos ( \frac{\pi}{2}+x) = -\sin x \), \( \forall x \in \mathbb{R} \)
\( \displaystyle \sin ( \frac{\pi}{2}+x) = \cos x \), \( \forall x \in \mathbb{R} \)

6. Sinusul și cosinusul argumentului dublu:
\( \sin 2a = 2 \sin a \cos a \), \( \forall a \in \mathbb{R} \)
\( \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a \), \( \forall a \in \mathbb{R} \)
\( \cos 2a = 2 \cos^2 a - 1 \), \( \forall a \in \mathbb{R} \)
\( \cos 2a = 1 - 2 \sin^2 a \), \( \forall a \in \mathbb{R} \)
Consecințe:
\( \displaystyle \cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2} \), \( \forall a \in \mathbb{R} \)
\( \displaystyle \sin^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{2} \), \( \forall a \in \mathbb{R} \)
\( \displaystyle | \cos a | = \sqrt{ \frac{1 + \cos 2a}{2} } \), \( \forall a \in \mathbb{R} \)
\( \displaystyle | \sin a | = \sqrt{ \frac{1 - \cos 2a}{2} } \), \( \forall a \in \mathbb{R} \)

7. Cosinusul și sinusul jumătății argumentului:
\( \displaystyle | \cos \frac{a}{2} | = \sqrt{ \frac{1 + \cos a}{2} } \), \( \forall a \in \mathbb{R} \)
\( \displaystyle | \sin \frac{a}{2} | = \sqrt{ \frac{1 - \cos a}{2} } \), \( \forall a \in \mathbb{R} \)

8. Cosinusul și sinusul argumentului triplu:
\( \cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x \), \( \forall x \in \mathbb{R} \)
\( \sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x \), \( \forall x \in \mathbb{R} \)

9. Transformarea sumelor în produse:
\( \displaystyle \sin p + \sin q = 2 \sin \frac{p+q}{2} \cos \frac{p-q}{2} \), \( \forall p, q \in \mathbb{R} \)
\( \displaystyle \sin p - \sin q = 2 \sin \frac{p-q}{2} \cos \frac{p+q}{2} \), \( \forall p, q \in \mathbb{R} \)
\( \displaystyle \cos p + \cos q = 2 \cos \frac{p+q}{2} \cos \frac{p-q}{2} \), \( \forall p, q \in \mathbb{R} \)
\( \displaystyle \cos p - \cos q = -2 \sin \frac{p+q}{2} \sin \frac{p-q}{2} \), \( \forall p, q \in \mathbb{R} \)

10. Transformarea produselor în sume:
\( \displaystyle \sin a \cdot \cos b = \frac{1}{2} [ \sin (a+b) + \sin (a-b)] \), \( \forall a, b \in \mathbb{R} \)
\( \displaystyle \cos a \cdot \cos b = \frac{1}{2} [ \cos (a+b) + \cos (a-b)] \), \( \forall a, b \in \mathbb{R} \)
\( \displaystyle \sin a \cdot \sin b = \frac{1}{2} [ \cos (a-b) - \cos (a+b)] \), \( \forall a, b \in \mathbb{R} \)

11. \( \sin a \) și \( \cos a \) în funcție de \( \displaystyle \text{tg} \frac{a}{2} \):
\( \displaystyle \sin a = \frac{2\text{tg} \frac{a}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{a}{2}} \)

\( \displaystyle \cos a = \frac{1 - \text{tg}^2 \frac{a}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{a}{2}} \)