formule pentru tangentă și cotangentă

1. Definiții, proprietăți:
\( \displaystyle \text {tg} x = \frac{ \sin x}{ \cos x} \), \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + n \pi | n \in \mathbb{Z} \}\)
\( \displaystyle \text {ctg} x = \frac{ \cos x}{ \sin x} \), \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{R} - \{ n \pi | n \in \mathbb{Z} \}\)
\( \displaystyle \text {tg} x \cdot \text {ctg} x = 1 \)
\( \displaystyle 1 + \text {tg}^2 x = \frac{ 1}{ \cos^2 x} \), \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + n \pi | n \in \mathbb{Z} \}\)
\( \displaystyle 1 + \text {ctg}^2 x = \frac{ 1}{ \sin^2 x} \), \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{R} - \{ n \pi | n \in \mathbb{Z} \}\)
\( \displaystyle \text {tg}( \frac{ \pi}{2} - x) = \text {ctg} x \), \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + n \pi | n \in \mathbb{Z} \}\)
\( \displaystyle \text {ctg}( \frac{ \pi}{2} - x) = \text {tg} x \), \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{R} - \{ n \pi | n \in \mathbb{Z} \}\)

2. Funcțiile tangentă și cotangentă sunt periodice și au perioada principală \( \pi \):
\( \displaystyle \text {tg}(x + k \pi) = \text {tg} x \), \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + n \pi | n \in \mathbb{Z} \}\), \( \forall k \in \mathbb{Z} \)
\( \displaystyle \text {ctg}(x + k \pi) = \text {ctg} x \), \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{R} - \{ n \pi | n \in \mathbb{Z} \}\), \( \forall k \in \mathbb{Z} \)

3. Funcțiile tangentă și cotangentă sunt impare:
\( \displaystyle \text {tg} (-x) = - \text {tg} x \), \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + n \pi | n \in \mathbb{Z} \}\)
\( \displaystyle \text {ctg} (-x) = - \text {ctg} x \), \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{R} - \{ n \pi | n \in \mathbb{Z} \}\)

4. Tangenta și cotangenta sumei și diferenței:
\( \displaystyle \text {tg} (a+b) = \frac{\text {tg} a + \text {tg} b}{1 - \text {tg} a \text {tg} b} \)
\( \displaystyle \text {tg} (a-b) = \frac{\text {tg} a - \text {tg} b}{1 + \text {tg} a \text {tg} b} \)
\( \displaystyle \text {ctg} (a+b) = \frac{\text {ctg} a \text {ctg} b - 1}{\text {ctg} a + \text {ctg} b} \)
\( \displaystyle \text {ctg} (a-b) = \frac{\text {ctg} a \text {ctg} b + 1}{\text {ctg} a - \text {ctg} b} \)

5. Tangenta și cotangenta argumentului dublu:
\( \displaystyle \text {tg} 2a = \frac{2 \text {tg} a }{1 - \text {tg}^2 a } \)
\( \displaystyle \text {ctg} 2a = \frac{\text {ctg}^2 a - 1}{2 \text {ctg} a} \)

6. Tangenta și cotangenta jumătății argumentului:
\( \displaystyle \text {tg} \frac{a}{2} = \frac{\sin a}{1 + \cos a} = \frac{1 - \cos a}{\sin a} \)
\( \displaystyle \text {ctg} \frac{a}{2} = \frac{\sin a}{1 - \cos a} = \frac{1 + \cos a}{\sin a} \)
\( \displaystyle | \text {tg} \frac{a}{2} | = \sqrt { \frac{1 - \cos a}{1 + \cos a} } \)
\( \displaystyle | \text {ctg} \frac{a}{2} | = \sqrt { \frac{1 + \cos a}{1 - \cos a} } \)

8. Transformarea sumelor în produse:
\( \displaystyle \text {tg} p + \text {tg} q = \frac{ \sin(p+q)}{\cos p \cos q} \)
\( \displaystyle \text {tg} p - \text {tg} q = \frac{ \sin(p-q)}{\cos p \cos q} \)
\( \displaystyle \text {ctg} p + \text {ctg} q = \frac{ \sin(p+q)}{\sin p \sin q} \)
\( \displaystyle \text {ctg} p - \text {ctg} q = \frac{ \sin(p-q)}{\sin p \sin q} \)

9. \( \sin a \), \( \cos a \), \( \text{tg} a \) și \( \text{ctg} a \) în funcție de \( \displaystyle \text{tg} \frac{a}{2} \):
\( \displaystyle \sin a = \frac{2\text{tg} \frac{a}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{a}{2}} \)

\( \displaystyle \cos a = \frac{1 - \text{tg}^2 \frac{a}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{a}{2}} \)

\( \displaystyle \text{tg} a = \frac{2\text{tg} \frac{a}{2}}{1 - \text{tg}^2 \frac{a}{2}} \)

\( \displaystyle \text{ctg} a = \frac{1 - \text{tg}^2 \frac{a}{2}}{2\text{tg} \frac{a}{2}} \)