Legi de compoziție

Exerciții și probleme... Legi de compoziție.

1. Pe \( \mathbb{R} \) se definește legea de compoziție \( x * y = xy - 3x - 3y + 12 \).

          a)  Calculați \( 2 * 7 \).
          b)  Verificați dacă \( x * y = (x - 3)(y - 3) + 3 \), \( \forall x, y \in \mathbb{R} \).
          c)  Verificați dacă mulţimea \( G = (3, \infty ) \) este parte stabilă în raport cu legea de compoziție \( * \).
          d)  Verificați dacă legea de compoziție \( * \) este asociativă.
          e)  Verificați dacă legea de compoziție \( * \) este comutativă.
          f)  Studiați dacă legea de compoziție \( * \) admite element neutru pe \( \mathbb{R} \).
          g)  Studiați existența elementelor simetrizabile ale legii de compoziție \( * \) pe \( \mathbb{R} \).
          h)  Verificați dacă \( \underbrace {x * x * ... * x}_{de \quad n \quad ori} = ( x - 3 )^n + 3 \), \( \forall x \in \mathbb{R} \), \( \forall n \in \mathbb{N^*} \).
          i)  Rezolvați, în \( \mathbb{R} \), ecuația \( x * x = 4 \).
          j)  Rezolvați, în \( \mathbb{R} \), ecuația \( x * x * x = x \).
          k)  Determinați \( a, b \in \mathbb{Q \setminus Z} \) astfel încât \( a * b \in \mathbb{N} \).
          l)  Verificați dacă \( x * 3 = 3 * x = 3 \), \( \forall x \in \mathbb{R} \).
          m)  Calculați valoarea expresiei \( 1 * 2 * 3 * ... * 2017 \).