Matrice și determinanți

Exerciții și probleme... matrice și determinanți.

Matematică >> matrice și determinanți >> 5


teorie
Determinantul unei matrice de ordinul al treilea, \( \color{red} A \color{dimgray} \in \textit{M}_{4}(\mathbb{C}) \),
\( \color{red}A = \color{dimgray} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix} \)

\( d = det(A) = \begin{vmatrix} a_{ij} \end{vmatrix} \)

se poate reduce la calculul a cel mult \( 4 \) determinanți de ordinul al treilea.

Determinantul de ordinul al treilea care se obține suprimând linia \( i \) și coloana \( j \) din determinantul \( d = det(A) \) se numește minorul elementului \( a_{ij} \) și se notează cu \( d_{ij} \).

Numărul \( \delta_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot d_{ij}\) se numește complementul algebric al elementului \( a_{ij} \) în determinantul \( d = det(A) \).

Pentru orice \( i \in \{ 1, 2, 3, 4 \} \), are loc egalitatea:
\( d = det(A) = a_{i1}\delta_{i1} + a_{i2}\delta_{i2} + a_{i3}\delta_{i3} + a_{i4}\delta_{i4} \).
Aceasta se numește dezvoltarea determinantului \( d = det(A) \) după linia \( i \).

Analog, pentru orice \( j \in \{ 1, 2, 3, 4 \} \), are loc egalitatea:
\( d = det(A) = a_{1j}\delta_{1j} + a_{2j}\delta_{2j} + a_{3j}\delta_{3j} + a_{4j}\delta_{4j} \).
Aceasta se numește dezvoltarea determinantului \( d = det(A) \) după coloana \( j \).


exemple
De exemplu,
determinantul matricei
\( A = \color{dimgray} \begin{pmatrix} 1 & 5 & -4 & 2 \\ \color{red} 0 & \color{red} 0 & \color{red} 5 & \color{red} -3 \\ 1 & -5 & 5 & -4 \\ -5 & -2 & -5 & -2 \end{pmatrix} \)

se poate calcula dezvoltând determinantul după elementele liniei a doua:
\( d = \det A = \)
\( = \color{red} 0 \color{dimgray} \cdot (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 5 & -4 & 2 \\ -5 & 5 & -4 \\ -2 & -5 & -2 \end{vmatrix} \)   \( + \color{red} 0 \color{dimgray} \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & -4 & 2 \\ 1 & 5 & -4 \\ -5 & -5 & -2 \end{vmatrix} \)   \( + \color{red} 5 \color{dimgray} \cdot (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 5 & 2 \\ 1 & -5 & -4 \\ -5 & -2 & -2 \end{vmatrix} \)   \( + \color{red} (-3) \color{dimgray} \cdot (-1)^{2+4} \begin{vmatrix} 1 & 5 & -4 \\ 1 & -5 & 5 \\ -5 & -2 & -5 \end{vmatrix} \)

\( = \color{red} 0 \cdot \color{dimgray} (-1) \cdot (-56) \) \( + \color{red} 0 \cdot \color{dimgray} 1 \cdot (-78) \) \( + \color{red} 5 \cdot \color{dimgray} (-1) \cdot 58 \) \( + \color{red} (-3) \cdot \color{dimgray} 1 \cdot 43 \)
\( = 0 + 0 -290 -129 \)
\( = - 419 \).

Se observă că primele două elemente sunt \( 0 \) (zero) și în acest caz nu este necesar să se calculeze valorile minorilor corespunzători.
Deci este avantajos ca dezvoltarea unui determinant să se facă după o linie (sau coloană) care are cât mai multe zerouri.
Pentru a "face zerouri" pe o linie sau coloană se folosesc proprietățile determinanților.

De exemplu, pentru a calcula determinantul matricei
\( A = \color{dimgray} \begin{pmatrix} \color{orange} 1 & 5 & -4 & 2 \\ \color{orange} 0 & 0 & 5 & -3 \\ \color{red} 1 & \color{blue} -5 & \color{blue} 5 & \color{blue} -4 \\ \color{orange} -5 & -2 & -5 & -2 \end{pmatrix} \)
se va alege ca pivot elementul \( 1 \) situat pe a treia linie și prima coloană, iar apoi se va dezvolta determinantul după a treia linie:
\( C_1 = C_1 \)
\( C_2 = C_2 -1 \cdot \color{red} 1 \color{dimgray} \cdot C_1 \cdot \color{blue} (-5) \)
\( C_3 = C_3 -1 \cdot \color{red} 1 \color{dimgray} \cdot C_1 \cdot \color{blue} 5 \)
\( C_4 = C_4 -1 \cdot \color{red} 1 \color{dimgray} \cdot C_1 \cdot \color{blue} (-4) \)
și determinantul devine:

\( det A = \color{dimgray} \begin{vmatrix} \color{orange} 1 & 10 & -9 & 6 \\ \color{orange} 0 & 0 & 5 & -3 \\ \color{red} 1 & \color{blue} 0 & \color{blue} 0 & \color{blue} 0 \\ \color{orange} -5 & -27 & 20 & -22 \end{vmatrix} \)

se dezvoltă determinantul după linia \( \color{blue} 3 \) și coloana \( \color{orange} 1 \) devenind:
\( det A = \color{red} 1 \color{dimgray} \cdot (-1)^{\color{blue} 3 \color{dimgray} + \color{orange} 1} \begin{vmatrix} 10 & -9 & 6 \\ 0 & 5 & -3 \\ -27 & 20 & -22 \end{vmatrix} \)

Determinantul de ordinul \( 3 \) se poate calcula dezvoltând după o anumită linie/coloană sau utilizând regula lui Sarrus.

Se obține: \( det A = -419 \).


exerciții

Determinantul matricei
\( A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 4 \\ 5 & 5 & -3 & -5 \\ 5 & -3 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & 1 & 5 \end{pmatrix} \)
este:

  \( \det A = \)   


 


exercițiu nou

Determinantul matricei
\( A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 4 \\ 5 & 5 & -3 & -5 \\ 5 & -3 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & 1 & 5 \end{pmatrix} \)
este
\( \det A = -524\).

\( det A = \begin{vmatrix} 1 & -2 & \color{orange} -1 & 4 \\ 5 & 5 & \color{orange} -3 & -5 \\ 5 & -3 & \color{orange} 1 & -1 \\ \color{blue} -2 & \color{blue} 1 & \color{red} 1 & \color{blue} 5\end{vmatrix}\)

se fac zerouri pe linia \( 4 \), astfel noile elemente ale coloanelor devin:

\( C_{1} = C_{1} -1 \cdot \color{red} 1 \color{dimgray} \cdot C_{3} \cdot \color{blue} (-2) \)
\( C_{2} = C_{2} -1 \cdot \color{red} 1 \color{dimgray} \cdot C_{3} \cdot \color{blue} 1 \)
\( C_{3} = C_{3} \)
\( C_{4} = C_{4} -1 \cdot \color{red} 1 \color{dimgray} \cdot C_{3} \cdot \color{blue} 5 \)

și determinantul devine:
\( det A = \begin{vmatrix} -1 & -1 & \color{orange} -1 & 9 \\ -1 & 8 & \color{orange} -3 & 10 \\ 7 & -4 & \color{orange} 1 & -6 \\ \color{blue} 0 & \color{blue} 0 & \color{red} 1 & \color{blue} 0\end{vmatrix}\)

se dezvoltă determinantul după linia \( 4 \) și coloana \( 3 \) devenind:
\( \det A = \color{red} 1 \color{dimgray} \cdot (-1)^{ \color{blue} 4 \color{dimgray} + \color{orange} 3} \) \( \begin{vmatrix} -1 & -1 & 9 \\ -1 & 8 & 10 \\ 7 & -4 & -6 \end{vmatrix} \)

Determinantul de ordinul \( 3 \) se poate calcula dezvoltând după o anumită linie/coloană sau utilizând regula lui Sarrus.

Se obține:
\( det A = -524 \).

***
La click se selectează și copiază textul în clipboard.
Textul se lipește într-un TeX front-end program (de exemplu TeXworks) care îl transformă în .pdf
***


Întregul fișier .tex



Doar problema în format .tex