Progresii aritmetice

Exerciții și probleme... progresii aritmetice.

Matematică >> Progresii aritmetice >> 7


teorie
Cunoscând termenul de rang \( n \) și rația unei progresii aritmetice ( \( a_n \) şi \( r \) ),
se poate afla uşor primul termen al progresiei, folosind formula termenului general, astfel:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).

Egalitatea
\( a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \)

se scrie
\( a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r = a_{n} \),

adică
\( a_{1} = a_{n} - ( n - 1 ) \cdot r \).


exemple
Să se determine primul termen al progresiei aritmetice \( ( a_n )_{n \ge 1} \),
cu al \( 53 \)-lea termen \( a_{53} = 101 \) și rația \( r = 2 \).

Rezolvare:
Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \),
pentru \( n = 53 \), se obține:

\( a_{53} = a_{1} + (53-1) \cdot r \)
\( a_{53} = a_{1} + 52 \cdot r \),

deci
\( a_{1} + 52 \cdot r = a_{53} \)
\( a_{1} = a_{53} - 52 \cdot r \)
\( a_{1} = 101 - 52 \cdot 2 = 101 - 104 = - 3 \).


exerciții

Primul termen al progresiei aritmetice \( ( a_n )_{n \ge 1} \), cu termenul de rang \( 90 \),
\( a_{90} = -102 \) și rația \( r = -1 \) este:

  \( a_1 = \)   


 


exercițiu nou

Primul termen al progresiei aritmetice \( ( a_n )_{n \ge 1} \), cu termenul de rang \( 90 \),
\( a_{90} = -102 \) și rația \( r = -1 \) este \( a_{1} = -13 \).

Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \),
pentru \( n = 90 \), se obține:

\( a_{90} = a_{1} + (90-1) \cdot r \)
\( a_{90} = a_{1} + 89 \cdot (-1) \),

deci
\( a_{1} + 89 \cdot (-1) = a_{90} \)
\( a_{1} = a_{90} - 89 \cdot (-1) \)
\( a_{1} = - 102 - 89 \cdot (-1) = - 102 + 89 = -13 \).