Progresii aritmetice

Exerciții și probleme... progresii aritmetice.

Matematică >> Progresii aritmetice >> 10


exemple
Să se determine numărul natural \( x \) din egalitatea \( 1 + 5 + 9 + \dots + x = 231 \).

Rezolvare:
Se observă că termenii sumei sunt termeni consecutivi ai unei
progresii aritmetice \( ( a_n )_{n \ge 1} \)
cu primul termen \( a_1 = 1 \) și al doilea termen \( a_2 = 5 \),
deci rația \( r = a_2 - a_1 \), \( r = 5 - 1 = 4 \).
\( x \) este termenul al \( n \)-lea, iar \( 231 \) este suma primilor \( n \) termeni.

Folosind formula sumei primilor \( n \) termeni:
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2 \cdot a_1 + (n - 1) \cdot r }{2} \cdot n \)
se determină \( n \) (rangul termenului \( x \)).

Înlocuind valorile cunoscute se obține:
\( \displaystyle \frac{2 \cdot 1 + (n - 1) \cdot 4 }{2} \cdot n = 231 \)

și efectuând calculele se ajunge la ecuația de gradul al doilea:
\( \displaystyle 2n^2 - n - 231 = 0 \),

care se rezolvă:
\( \displaystyle \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-231) = 1849 \)
\( \displaystyle \sqrt{ \Delta } = 43 \)
\( \displaystyle n_{ 1,2 } = \frac{ -(-1) \pm 43 }{ 2 \cdot 2 } \)

\( \displaystyle n_{ 1,2 } = \frac{ 1 \pm 43 }{ 4 } \), deci

\( \displaystyle n_{1} = \frac{ -42 }{ 4 } \notin \mathbb{N} \) și \( \displaystyle n_{2} = \frac{ 44 }{ 4 } = 11 \in \mathbb{N} \).

Deci \( x \) este al \( 11 \)-lea termen al progresiei aritmetice cu \( a_1 = 1 \) şi \( r = 4 \).

Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \),

\( x = a_{11} \)
\( x = a_{1} + ( 11 - 1 ) \cdot r \)
\( x = a_{1} + 10 \cdot r \)
\( x = 1 + 10 \cdot 4 \)
\( x = 41 \).


exerciții

Numărul natural \( x \) din egalitatea
\( 1 + 6 + 11 + \dots + x = 148 \)
este:

  \( x = \)   


 


exercițiu nou

Numărul natural \( x \) din egalitatea
\( 1 + 6 + 11 + \dots + x = 148 \)
este \( x = 36 \).

Se observă că termenii sumei sunt termeni consecutivi ai unei
progresii aritmetice \( ( a_n )_{n \ge 1} \)
cu primul termen \( a_1 = 1 \) și al doilea termen \( a_2 = 6 \),
deci rația \( r = a_2 - a_1 \), \( r = 6 - 1 = 5 \).
\( x \) este termenul al \( n \)-lea, iar \( 148 \) este suma primilor \( n \) termeni.

Folosind formula sumei primilor \( n \) termeni:
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2 \cdot a_1 + (n - 1) \cdot r }{2} \cdot n \)
se determină \( n \) (rangul termenului \( x \)).

Înlocuind valorile cunoscute se obține:
\( \displaystyle \frac{2 \cdot 1 + (n - 1) \cdot 5 }{2} \cdot n = 148 \)

și efectuând calculele se ajunge la ecuația de gradul al doilea:
\( \displaystyle 5n^2 - 3n - 296 = 0 \)

care se rezolvă:
\( \displaystyle \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-296) = 5929 \)
\( \displaystyle \sqrt{ \Delta } = 77 \)
\( \displaystyle n_{ 1,2 } = \frac{ -(-3) \pm 77 }{ 2 \cdot 5 } \)

\( \displaystyle n_{ 1,2 } = \frac{ 3 \pm 77 }{ 10 } \), deci

\( \displaystyle n_{1} = \frac{ -74 }{ 10 } \notin \mathbb{N} \) și \( \displaystyle n_{2} = \frac{ 80 }{ 10 } = 8 \in \mathbb{N} \).

Deci \( x \) este al \( 8 \)-lea termen al progresiei aritmetice cu \( a_1 = 1 \) şi \( r = 5 \).

Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \),

\( x = a_{8} \)
\( x = a_{1} + ( 8 - 1 ) \cdot r \)
\( x = a_{1} + 7 \cdot r \)
\( x = 1 + 7 \cdot 5 \)
\( x = 36 \).