Progresii aritmetice

Exerciții și probleme... progresii aritmetice.

Matematică >> Progresii aritmetice >> 8


teorie
Cunoscând primul termen \( (a_1) \) și termenul de rang \( n \) \( (a_{n}) \),
se poate afla uşor rația progresiei aritmetice \( ( a_n )_{n \ge 1} \),
folosind formula termenului general, astfel:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).

Egalitatea
\( a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \)

se scrie
\( a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r = a_{n} \),
\( ( n - 1 ) \cdot r = a_{n} - a_{1} \),

deci
\( \displaystyle r = \frac{ a_{n} - a_{1} }{ n - 1 } \).


exemple
Să se determine rația progresiei aritmetice \( ( a_n )_{n \ge 1} \),
cu primul termen \( a_1 = - 3 \) și al \( 53 \)-lea termen \( a_{53} = 101 \).

Rezolvare:

Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \),
pentru \( n = 53 \), se obține:

\( a_{53} = a_{1} + (53-1) \cdot r \)
\( a_{53} = a_{1} + 52 \cdot r \)

deci,
\( a_{1} + 52 \cdot r = a_{53} \)
\( 52 \cdot r = a_{53} - a_{1} \)

\( \displaystyle r = \frac{ a_{53} - a_{1} }{ 52 } \)

\( \displaystyle r = \frac{ 101 - (-3) }{ 52 } = \frac{ 104 }{ 52 } = 2 \).


exerciții

Rația progresiei aritmetice \( ( a_n )_{n \ge 1} \), cu primul termen \( a_{1} = 8 \) și
termenul de rang \( 30 \), \( a_{30} = -21 \) este:

  \( r = \)   


 


exercițiu nou

Rația progresiei aritmetice \( ( a_n )_{n \ge 1} \), cu primul termen \( a_{1} = 8 \) și
termenul de rang \( 30 \), \( a_{30} = -21 \) este \( r = -1 \).

Folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \),
pentru \( n = 30 \), se obține:

\( a_{30} = a_{1} + (30-1) \cdot r \)
\( a_{30} = a_{1} + 29 \cdot r \)

\( a_{1} + 29 \cdot r = a_{30} \)
\( 29 \cdot r = a_{30} - a_{1} \)

\( \displaystyle r = \frac{ a_{30} - a_{1} }{ 29 } \)

\( \displaystyle r = \frac{ -21 - 8 }{ 29 } = \frac{ -29 }{ 29 } = -1 \).