Progresii aritmetice

Exerciții și probleme... progresii aritmetice.

Matematică >> Progresii aritmetice >> 14


teorie
Cunoscând primul termen \( a_1 \) şi rația \( r \), unei progresii aritmetice, se poate calcula suma primilor \( n \) termeni ai progresiei \( S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n \), folosind formula:
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \).


exemple
Calculați suma \( S = 2 + 9 + 16 + 23 + \dots + 149\).

Rezolvare:

Se observă că termenii sumei sunt termenii unei progresii aritmetice (pentru că diferența dintre oricare doi termeni consecutivi este \( 7 \) ).

Primii doi termeni ai progresiei sunt:
\( a_1 = 2 \)
\( a_2 = 9 \)
deci rația progresiei este:
\( r = a_2 - a_1 = 9 - 2 = 7 \).

După ce se va determina numărul termenilor sumei, se va folosi formula sumei primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \):
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \).

Deoarece \( a_{n} = 149 \), folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \)

\( 149 = 2 + ( n - 1 ) \cdot 7 \)

\( 2 + ( n - 1 ) \cdot 7 = 149 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 7 = 149 - 2 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 7 = 147 \)
\( n - 1 = 147 : 7 \)
\( n = 21 + 1 \)
\( n = 22 \).

Folosind formula sumei primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \):
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \), se obține:

\( \displaystyle S_{22} = \frac{2a_1 + (22-1)r}{2} \cdot 22 \)

\( \displaystyle S_{22} = \frac{2 \cdot 2 + 21 \cdot 7}{2} \cdot 22 \)

\( \displaystyle S_{22} = \frac{4 + 147}{2} \cdot 22 \)

\( \displaystyle S_{22} = \frac{151}{2} \cdot 22 \)

\( \displaystyle S_{22} = 151 \cdot 11 \)

\( \displaystyle S_{22} = 1661 \).




exerciții

Suma $ S = -1 + 7 + 15 + 23 + \dots + 351 $ este:

  \( S = \)   


 


exercițiu nou

Suma $ S = -1 + 7 + 15 + 23 + \dots + 351 $ este:
\( S = 7875\).

Se observă că termenii sumei sunt termenii unei progresii aritmetice (pentru că diferența dintre oricare doi termeni consecutivi este \( 8 \) ).

Primii doi termeni ai progresiei sunt:
\( a_1 = -1 \)
\( a_2 = 7 \)
deci rația progresiei este:
\( r = a_2 - a_1 = 7 - (-1) = 8 \).

După ce se va determina numărul termenilor sumei, se va folosi formula sumei primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \):
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \).

Deoarece \( a_{n} = 351 \), folosind formula termenului general:
\( \color{red} a_{n} = a_{1} + ( n - 1 ) \cdot r \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \)

\( 351 = -1 + ( n - 1 ) \cdot 8 \)

\( -1 + ( n - 1 ) \cdot 8 = 351 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 8 = 351 + 1 \)
\( ( n - 1 ) \cdot 8 = 352 \)
\( n - 1 = 352 : 8 \)
\( n = 44 + 1 \)
\( n = 45 \).

Folosind formula sumei primilor \( n \) termeni ai unei progresii aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \):
\( \displaystyle \color{red} S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \), se obține:

\( \displaystyle S_{45} = \frac{2a_1 + (45-1)r}{2} \cdot 45 \)

\( \displaystyle S_{45} = \frac{2 \cdot (-1) + 44 \cdot 8}{2} \cdot 45 \)

\( \displaystyle S_{45} = \frac{-2 + 352}{2} \cdot 45 \)

\( \displaystyle S_{45} = \frac{350}{2} \cdot 45 \)

\( \displaystyle S_{45} = 175 \cdot 45 \)

\( \displaystyle S_{45} = 7875 \).