Progresii geometrice

Exerciții și probleme... progresii geometrice.

Matematică >> Progresii geometrice >> 1


teorie
Cunoscând primul termen și rația unei progresii geometrice ( \( b_1 \) şi \( q \)),
se pot determina uşor primii cinci termeni ai progresiei, folosind definiţia, astfel:
\( \color{red} b_{n} = b_{n-1} \cdot q \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \).


exemple
Să se determine primii cinci termeni ai unei progresii geometrice ( \( b_n \) ),
cunoscând primul termen \( b_1 = 3 \) și rația \( q = - 2 \).

Rezolvare:
Folosind definiţia:
\( \color{red} b_{n} = b_{n-1} \cdot q \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \),

pentru \( n = 2 \) se obține:
\( b_{2} = b_{2-1} \cdot q \),
deci
\( b_{2} = b_{1} \cdot q \),
\( b_{2} = 3 \cdot (- 2) = - 6 \).

Analog, pentru \( n = 3 \), \( n = 4 \) respectiv \( n = 5 \), se obține:

\( b_{3} = b_{2} \cdot q \),
\( b_{3} = -6 \cdot (- 2) = 12 \),

\( b_{4} = b_{3} \cdot q \),
\( b_{4} = 12 \cdot (- 2) = - 24 \),

și
\( b_{5} = b_{4} \cdot q \),
\( b_{5} = -24 \cdot (- 2) = 48 \).


exerciții

Primii cinci termeni ai progresiei geometrice ( \( b_n \) ) cu \( b_1 = -2 \) și \( q = 4 \) sunt
(în ordine, separați prin spații):


 


exercițiu nou


Primii cinci termeni ai progresiei geometrice cu primul termen \( b_1 = -2 \) și rația \( q = 4 \) sunt:
\(-2\)   \(-8\)   \(-32\)   \(-128\)   \(-512\)  

Rezolvare:

Evident \( b_1 = -2 \).

Folosind definiţia:
\( \color{red} b_{n} = b_{n-1} \cdot q \), \( \color{red} n \in \mathbb{N} \),
pentru \( n = 2 \) se obține:
\( b_{2} = b_{2-1} \cdot q \),
deci
\( b_{2} = b_{1} \cdot q \),
\( b_{2} = -2 \cdot 4 = -8 \).

Analog, pentru \( n = 3 \), \( n = 4 \) respectiv \( n = 5 \), se obține:

\( b_{3} = b_{2} \cdot q \),
\( b_{3} = -8 \cdot 4 = -32 \),

\( b_{4} = b_{3} \cdot q \),
\( b_{4} = -32 \cdot 4 = -128 \)

și
\( b_{5} = b_{4} \cdot q \),
\( b_{5} = -128 \cdot 4 = -512 \).